打完比赛对完答案被人说 He's so Chinese 笑不活了。

Part A

A1-A4 宝宝题，不讲。

A5 两个筒的底面周长已知，所以可以算出半径。根据 Phytagorean theorem 计算高。解方程即可。答案：\(\boxed{\sqrt\frac{20}{21}\pi}\)

A6 定义一个数的贡献为它的分段数减去 \(1\)。例：\(13034041\) 的贡献是 \(2\)。

注意到每个 \(n\) 位数 \((n\ge 3)\) 都可以通过添加 \(0-9\) 的方式构建一个 \(n+1\) 位数（标 \(n\ge 3\) 是为了暴力求小 case 简化计算）。那么在这 \(9\times10^{n-1}\) 个 \(n\) 位数里面，需要结尾是 \(0\)，并且添加的数字为 \(1-9\)，才能让贡献 +1。统计这样的贡献可以得到 \(81\times10^{n-2}\)。

全部加起来（\(n=3\dots 7\)）再加上 \(9\times10^7\) 得到答案 \(\boxed{98999910}\)。

Part B

B1,B2(a) 宝宝题，不讲。

B2(b) 用 \(\tan\) 和角公式，\(\tan\angle RPQ=7\)，得到答案 \(\boxed{25}\)。

B2(c) 通过构造 \(\angle YXZ\) 的角平分线，使用两次角平分线定理+角平分线长定理算出 \(WY=\frac{25}8\sqrt{10}\)。再使用相似得到答案 \(\boxed{(\frac{81}8,\frac{117}8)}\)。

B3(a) 宝宝题，不讲。

B3(b) 假设 \(b_n=a\times g^{n-1}\)。首先观察到：

\[\begin{aligned} c_2&=a\\ c_3&=a(a+g) \end{aligned} \]

于是我们断定 \(t=a+g\)。接下来是归纳过程：假设 \(c_{n-1}=a(a+g)^{n-3}\) 对所有 \(\le n\) 成立。

\[\begin{aligned} c_n&=b_{n-1}+ab_{n-2}+\sum_{i=1}^{n-3}b_ic_{n-i}\\ &=ag^{n-2}+a^2g^{n-3}+\sum_{i=1}^{n-3}a^2(a+g)^{n-2-i}g^{i-1}\\ &=a(a+g)(g^{n-3}+a\sum_{i=1}^{n-3}(a+g)^{n-3-i}g^{i-1})\\ &=a(a+g)(g^{n-3}+a\sum_{i=1}^{n-3}g^{i-1}\sum_{j=0}^{n-3-i}\binom{n-3-i}{j}a^jg^{n-3-i-j})\\ &=a(a+g)(g^{n-3}+a\sum_{i=1}^{n-3}\sum_{j=0}^{n-3-i}\binom{n-3-i}{j}a^jg^{n-j-4})\\ &=a(a+g)(g^{n-3}+\sum_{j=0}^{n-4}a^{j+1}g^{n-j-4}{\color{red}\sum_{i=1}^{n-3}\binom{n-3-i}{j}})\\ &=a(a+g)(g^{n-3}+\sum_{j=0}^{n-4}a^{j+1}g^{n-j-4}{\color{red}\binom{n-3}{j+1}})\\ &=a(a+g)(\sum_{j=0}^{n-3}\binom{n-3}{j}a^jg^{n-3-j})\\ &=a(a+g)^{n-2} \end{aligned} \]

Q.E.D. 标红的部分使用了 Hockeystick's Identity。

B3(c) 假设 \(b_n=a+d(n-1)\)。注意到

\[\begin{aligned} c_n&=b_1c_{n-1}+\sum_{i=2}^{n-1}b_ic_{n-i}\\ &=ac_{n-1}+\sum_{i=1}^{n-2}b_{i+1}c_{n-i-1}\\ &=ac_{n-1}+\sum_{i=1}^{n-2}(b_i+d)c_{n-i-1}\\ &=ac_{n-1}+d\sum_{i=1}^{n-2}c_{n-i-1}+\sum_{i=1}^{n-2}b_ic_{n-i-1}\\ &=(a+1)c_{n-1}+d\sum_{i=1}^{n-2}c_{n-i-1}\\ &=(a+1)c_{n-1}+d\sum_{i=1}^{n-2}c_i \end{aligned} \]

代入四个给定的 \(c\) 值，设 \(k=\sum_{i=1}^{2023}c_i\)，得到一个关于 \(a,d,k\) 的三元方程组，解出 \(a,d\) 即可。答案：\(\boxed{-6075}\)