51nod1149 Pi的递推式

 

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F(x) = 1 (0 <= x < 4)

F(x) = F(x - 1) + F(x - pi) (4 <= x)

Pi = 3.1415926535.....

现在给出一个N，求F(N)。由于结果巨大，只输出Mod 10^9 + 7的结果即可。

 

Input

输入一个整数N(1 <= N <= 10^6)

Output

输出F(N) Mod 10^9 + 7

Input示例

5

Output示例

3

 

数学问题 递推 组合数

实数下标的递推，甚至不能记忆化（吧？），递归显然不可取。

可以先考虑一般的情况。

比如Fibonacci数列的递推式是 $ F[n]=F[n-1]+F[n-2] $ 

众所周知，它的组合数意义可以解释为任选走一级或走两级，从0级上到n级台阶的方案数。（然而蒟蒻博主就不知道）

由此得出F[n]的另一个计算方式是枚举走两级走了i次，然后 $F[n]=\sum_{i=0}^{n/2} C(n-2i+i,i) $

这个算法可以推广到一般的递推式。

那么在本题中，可以类似地枚举走1和走pi的次数，累计从0走到大于n-4的位置的方案数。

由于枚举走1或枚举走pi时，另一个走法的次数上限不同（第一次到达>n-4的位置时，到达的具体位置不同），所以要分类讨论。

 

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define LL long long
using namespace std;
const double pi=acos(-1.0);
const int mxn=1000010;
const int mod=1e9+7;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int ksm(int a,int k){
    int res=1;
    while(k){
        if(k&1)res=(LL)res*a%mod;
        a=(LL)a*a%mod;
        k>>=1;
    }
    return res;
}
int fac[mxn],inv[mxn];
void init(int ed){
    fac[0]=fac[1]=1;inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=ed;i++)
        fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%mod;
    inv[ed]=ksm(fac[ed],mod-2);
    for(int i=ed-1;i;i--)
        inv[i]=(LL)inv[i+1]*(i+1)%mod;
    return;
}
inline int C(int n,int m){
    if(n<m)return 0;
    return (LL)fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int n;
int ans=0;
int main(){
    int i,j;
    n=read();
    if(n<4){
        printf("1\n");return 0;
    }
    init(n);
    for(i=0;i<=n-4;i++){//1
        int tmp=(int)(((double)n-4-i)/pi);
//        printf("i:%d tmp:%d %d\n",i,tmp,C(tmp+i,i));
        (ans+=C(tmp+i,i))%=mod;
    }
    for(i=0;i*pi<=n-4;i++){//pi
        int tmp=(int)(n-4-i*pi);
//        printf("i:%d tmp:%d %d\n",i,tmp,C(tmp+i,i));
        (ans+=C(tmp+i,i))%=mod;
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}