Bzoj3675 [Apio2014]序列分割

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Description

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

Input

输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。

第二行包含n个非负整数a1，a2，...，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。

Output

输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。

Sample Input

7 3
4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT

【样例说明】

在样例中，小H可以通过如下3轮操作得到108分：

1．-开始小H有一个序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H选择在第1个数之后的位置

将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。

2．这一轮开始时小H有两个序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H选择在第3个数

字之后的位置将第二个序列分成两部分，并得到(1+3)×(4+0+2+

3)=36分。

3．这一轮开始时小H有三个序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H选择在第5个

数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)=

20分。

经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)并总共得到52+36+20=108分。

【数据规模与评分】

：数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。

Source

动态规划 斜率优化DP

首先需要发现一个性质：

　　$ a*(b+c)+b*c = ab+ac+bc $

　　$ (a+b)*c+a*b = ab+ac+bc $

这意味着最优得分和切割顺序无关。

那么我们可以从左往右依次切，这显然是一个可以DP的问题。

斜率优化即可。

刚开始推的是$ f[i][k]=max{f[j][k-1]+(sum[n]-sum[i])*(sum[i]-sum[j])} $

这样跑出来26+s，怎么这么慢啊？难道是这样写方程不适合斜率优化？（得多蠢才能得出这个结论）

于是换成了 $ f[i][k]=max{f[j][k-1]+(sum[i]-sum[j])*sum[j]} $

这样跑出来30+s，喵喵喵？

默默常数优化，除式拆成乘式之类的，卡到了13s

一本满足（并不）

 

/*by SilverN*/
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int mxn=100010;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,K;
int a[mxn],cnt=0;
int q[mxn],hd,tl;
LL smm[mxn];
LL f[mxn],g[mxn];
double calc(int j,int k){
        return (g[j]-g[k]-(LL)smm[n]*(smm[j]-smm[k]))/(double)(smm[k]-smm[j]);
}
int main(){
//    freopen("in.txt","r",stdin);
    int i,j;
    n=read();K=read();
    for(i=1;i<=n;i++){a[i]=read();if(a[i])a[++cnt]=a[i];}
    n=cnt;K=min(n-1,K);
    for(i=1;i<=n;i++)smm[i]=smm[i-1]+a[i];
    for(i=1;i<=K;i++){
        swap(f,g);
        hd=1;tl=0;
        for(j=1;j<=n;j++){
            while(hd<tl && calc(q[tl-1],q[tl])>calc(q[tl],j-1))tl--;
            q[++tl]=j-1;
            while(hd<tl && calc(q[hd],q[hd+1])<smm[j])hd++;
            int t=q[hd];
            if(hd<=tl)f[j]=g[t]+(LL)smm[n]*smm[j]-smm[j]*smm[j]-smm[n]*smm[t]+smm[j]*smm[t];
        }
    }
    LL ans=0;
    for(i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,f[i]);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

 

完全体：

/*by SilverN*/
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int mxn=100015;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int n,K;
int a[mxn],cnt=0;
int q[mxn],hd,tl;
LL smm[mxn],smm2[mxn];
LL f[mxn],g[mxn];
inline LL calc_up(int j,int k){
        return smm2[k]-smm2[j]+g[j]-g[k];
}
inline LL calc_down(int j,int k){
        return smm[k]-smm[j];
}
int main(){
//    freopen("in.txt","r",stdin);
    int i,j;
    n=read();K=read();
    for(i=1;i<=n;i++){a[i]=read();if(a[i])a[++cnt]=a[i];}
    n=cnt;
    for(i=1;i<=n;i++)smm[i]=smm[i-1]+a[i],smm2[i]=smm[i]*smm[i];
    for(i=1;i<=K;i++){
        swap(f,g);
        hd=1;tl=0;
        for(j=i;j<=n;j++){
            while(hd<tl && calc_up(q[tl-1],q[tl])*calc_down(q[tl],j-1)>=calc_up(q[tl],j-1)*calc_down(q[tl-1],q[tl]))tl--;
            q[++tl]=j-1;
            while(hd<tl && calc_up(q[hd],q[hd+1])<smm[j]*calc_down(q[hd],q[hd+1]))hd++;
            int t=q[hd];
            f[j]=g[t]+smm[t]*((LL)smm[j]-smm[t]);
        }
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}