【XSY2671】【BZOJ2693】jzptab（莫比乌斯反演）

\(Description\)

给你\(n,m\)，求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mlcm(i,j)\)

答案对\(100000009\)取模。

多组数据。

\(Input\)

第一行有一个正整数\(t\)表示数据组数

接下来\(t\)行每行有两个正整数\(n,m\)

\(Output\)

\(t\)行，第\(i\)行为第i组询问的答案。

\(Sample Input\)

1
4 5

\(Sample Output\)

122

\(HINT\)

对于\(100\%\)的数据：\(t≤10000,n,m≤107\)

\(100000009\)不是一个质数。

---

这道题一看就是一个数学题，一个莫比乌斯反演的入门题，如果没有了解过莫比乌斯反演的点这里

---

这道题给的很直接，于是我们就直接开始通过莫比乌斯反演导式子

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}mlcm(i,j)$$

由小学数学可得，\(\frac{ij}{gcd(i,j)}=lcm(i,j)\)

$$=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}m\frac{ij}{gcd(i,j)}$$

我们发现\(\frac{ij}{gcd(i,j)}\)这个式子看着难受，于是设\(d=gcd(i,j)\)，枚举\(d\)，但是因为枚举的\(d\)不一定是\(gcd(i,j)\)，于是最后判断一下

$$=\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}n\sum_{j=1}^m\frac{ij}{d}[d=gcd(i,j)]$$

将\(d\)除出来得到，因为其中\(i、j\)除于\(d\)后变成了\(\frac{i}{d}、\frac{j}{d}\)，所以要使\(\frac{ij}{d}\)变化后值不变，就得到\(\frac{\frac{i}{d}\frac{j}{d}*d^2}{d}\)，又因为\(i,j\)在循环中已经除于了 \(d\)，所以\(\frac{ij}{d}\)变成了\(\frac{ijd^2}{d}=dij\)

$$=\sum_{d=1}^n\sum_{i=1} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}dij[gcd(i,j)=1]$$

又有莫比乌斯函数的性质：\(\sum_{d\mid n}\mu(d)=[n=1]\)，可以考虑设\(d\)为\(k\)，\(n\)为\(gcd(i,j)\)，可得

$$\sum_{k\mid gcd(i,j)}\mu(k)=[gcd(i,j)=1]$$

带入原式中得

$$=\sum_{d=1}^n\sum_{i=1} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}dij\sum_{k\mid gcd(i,j)}\mu(k)$$

因为如果要满足\(k\mid gcd(i,j)\)，则只需满足\(k\mid i且k\mid j\)，就可以把\(k\)提到前面去，则原式可以变成

$$=\sum_{k=1}^{n\mu(k)\sum_{d=1}}n\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}[k\mid i]\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{d}\right\rfloor}[k\mid j] dij$$

将式子除于\(k\)得到

$$=\sum_{k=1}^{n\mu(k)\sum_{d=1}}n\sum_{i=1}^{{\left\lfloor\frac{n}{dk}\right\rfloor}\sum_{j=1}}\right\rfloor}dk^2ij$$

设\(dk=T\)，并提前枚举\(T\)，则有

$$=\sum_{T=1}^n\sum_{i=1}\right\rfloor}i\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{T}\right\rfloor}j\sum_{d\mid T}\frac{T^2}{d}\mu(\frac{T}{d})$$

这就是最终的式子，现在我们考虑对于\(\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{T}\right\rfloor}i\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{T}\right\rfloor}\)用等差数列求和\(O(1)\)求出，\(\sum_{d\mid T}\frac{T^2}{d}\mu(\frac{T}{d})\)用线性筛\(O(n)\)求出

现在对于一个函数\(g(x)=\sum_{d\mid T}\frac{T^2}{d}\mu(\frac{T}{d})\)

1. 若\(x\)为质数，则通过找规律可得\(g(x)=x-x^2\)
2. 若\(x=i*prime\)且\(i\%prime=0\)，则\(g(x)=g(i)*prime\)
3. 若\(x=i*prime\)且\(i%prime!=0\) 即 \(gcd(i,prime)=1\)，则\(g(x)=g(i)*g(prime)\)
   \(ps:2,3\)条性质都是积性函数的性质

最外层的循环就用整除分块 \(O(\sqrt n)\)处理

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10000010,mod=100000009;
typedef long long ll;
bool vis[N];
ll sum[N];
ll prime[N];
ll g[N];
int cnt=0;
void init()
{
    sum[1]=g[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        sum[i]=1LL*(i+1)*i/2%mod;
        if(!vis[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            g[i]=(i-1LL*i*i%mod+mod)%mod;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<N;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)g[i*prime[j]]=g[i]*prime[j]%mod;
            else g[i*prime[j]]=g[i]*g[prime[j]]%mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<N;i++)g[i]=(g[i]+g[i-1])%mod;
}
ll ans=0;
void solve(int a,int b)
{
    for(int l=1,r=0;l<=a;l=r+1)
    {
        r=min(a/(a/l),b/(b/l));
        ans=(ans+sum[a/l]*sum[b/l]%mod*(g[r]-g[l-1]+mod)%mod)%mod;
    }
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    init();
    while(t--)
    {
        ans=0ll;
        int n,m;
        scanf("%d %d",&n,&m);
        if(n>m)swap(n,m);
        solve(n,m);
        printf("%lld\n",ans);   
    }
    return 0;
}
/*
1
4 5
*/