通关基本算法 day_05 -- 前缀和

前缀和

原理

我们假定有一个长度为 n 的数组
$$
a_1 a_2a_3...a_n
$$
定义前缀和数组为：
$$
S_i=a_1+a_2+...+a_n,s_0 = 0
$$
1.如何求 si

for(int i = 1;i <= n;i++)
{
	s[i] = s[i-1]+a[i];
}

2.作用

能快速地求出来，数组中一段数的和

例如 求 [l,r] 的和，用前缀和数组来求即为 Sr - Sl-1
$$
S_r = a_1+a_2+a_3+...+a_{l-1}+a_l+...+a_r\
S_{l-1}=a_1+a_2+a_3+...+a_{l-1}\
那么 S_r-S_{l-1} = a_l+a_{l+1}+...+a_r
$$

模板

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

练习

795. 前缀和 - AcWing题库

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤l≤r≤n
1≤n,m≤100000
−1000≤数列中元素的值≤1000

输入样例：

5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4

输出样例：

3
6
10

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;
int a[N],s[N];
int n,m;


int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    
    for(int i = 1;i <=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        s[i] = s[i-1] + a[i];
    }
    
    for(int i = 0;i < m;i++)
    {
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        printf("%d\n",s[r]-s[l-1]);
    }
    
    return 0;
}

二维前缀和

原理

$$
假定原数组为 a_{i,j},前缀和数组为S_{i,j}\
S_{i,j}表示以（i，j）这个点左上角所有元素的和
我们可先减去左半边矩阵的和\
S_{x_2,y_2} - S_{x_2,y_1-1}\
再减去上半部分的矩阵的和\
S_{x_2,y_2} - S_{x_2,y_1-1}-S_{x_1-1,y_2}\
但是我们发现，左上角的小正方形被减了两次，加回来\
S_{x_2,y_2} - S_{x_2,y_1-1}-S_{x_1-1,y_2}+S_{x_1-1,y_1-1}
$$

如何推导 S[i,j]

for(int i = 1;i <n;i++)
{
	for(int j = 1;j < m;j++)
	{
		S[i,j] = S[i-1,j] + S[i,j-1] - S[i-1,j-1] + a[i,j];
	}
}

模板

//S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
//以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

练习

796. 子矩阵的和 - AcWing题库

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，q

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式

共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000
1≤q≤200000
1≤x1≤x2≤n
1≤y1≤y2≤m
−1000≤矩阵内元素的值≤1000

#include<iostream>
const int N = 1010;

int n,m,q;
int a[N][N],s[N][N];

using namespace std;

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        for(int j = 1;j <= m;j++)
        {
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        for(int j = 1;j <= m;j++)
        {
            s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];
        }
    }
    
    while(q--)
    {
        int x1,x2,y1,y2;
        
        scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2);
        
        printf("%d\n",s[x2][y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1]);
    }
    
    return 0;
}