加减乘除四合一

模板大合集。。。可以说是一个创意了。。

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1.加

\[\sum_{i=l}^r(a_i+x) \]

实在是签到，把它变成

\[\sum_{i=l}^ra_i+\sum_{i=l}^rx \]

\[\sum_{i=l}^ra_i+(r-l+1)\times x \]

前缀和解决，记得开 long long。

2.减

\[\sum_{i=l}^r|a_i-x| \]

前置知识：二维数点。

把 \(a_i\leq x\) 与 \(a_i>x\) 分开来。就是问 \(l\sim r\) 有多少 \(i\) 使 \(a_i\leq x\) ，并求这些 \(a_i\) 的和。那就是经典的二维数点问题、

3.乘

\[\prod_{i=l}^{r}a_ix \]

前置知识：乘法逆元，快速幂。

它和前缀和是一样的，变成

\[(\prod_{i=l}^{r}a_i)\times x^{r-l+1} \]

后面是快速幂，前面维护前缀积，然后乘一下逆元就好了。

对了，记得要特判 \(1\sim l\) 出现过 \(0\) 的情况，因为这样是没有逆元的。

4.除

\[\sum_{i=l}^{r}\gcd(a_i,x) \]

前置知识：莫比乌斯反演。

式子变成

\[\sum_{d|x}\varphi(d)\sum_{i=l}^r[d|a_i] \]

后面就是一维数点问题，总共 \(n\times w(V)\) 次单点加，\(Q\times w(V)\) 次区间求和。不好平衡，只好再带一个 \(\log n\) 。