二叉搜索树

一、定义

平衡树实际为一种二叉搜索树（BST）。
对于一棵BST满足如下定义：

• 空树为一棵BST。
• 若根左子树非空，则左子树键值均小于根节点。
• 若根右子树非空，则右子树键值均大于根节点。
• 根左子树与右子树均为BST。

二、插入操作

从根节点出发，让插入元素与当前节点键值进行比较，小于则向左递归，大于则向右递归，重复如此操作，直到找到合适的位置。
但若插入元素与某一节点键值相等该如何处理？对于严格BST，我们禁止出现重复键值，但我们可以进行处理：

• 若元素大于等于则向右递归（或小于等于向左），但当出现大量重复元素会导致树的平衡性出现问题。
• 我们可以给每个节点添加一个计数，当递归到重复键值节点，则当前节点计数加一（下文均以此方式进行插入，不做过多赘述）。

三、删除操作

设删除节点计数为cnt，若cnt==0，则并不存在此节点，若cnt>1，则cnt--即可。
否则

• 若为叶子节点，直接删除。
• 若为只有一个儿子的链节点，用儿子顶替。
• 若有两个儿子，用左子树最大键值节点（或右子树最小键值节点）\(u\)的键值替换删除节点，易得\(u\)至多有一个子节点，即为链节点或叶子结点，对\(u\)进行删除操作即可。

四、查询操作

对于二叉搜索树进行中序遍历，得到的中序遍历序列中元素按升序排列，再简单对重复元素的cnt进行处理，即可得到每一个元素的排名。
反过来通过排名如何求元素（下文计l=k-count，r=k-1，用\(|V|\)表示节点数量）。

• 从根节点出发，若\(|左子树|>r\)，则该元素在左子树中。
• 若\(|左子树|\in[l,r]\)，则该元素为根节点。
• 否则\(|左子树|<l\)，则该元素在右子树中。
• 向下递归即可。