背包密码密度的作用(LLL算法的实现)

背包问题通解:

当密度d满足以下条件时,LLL算法能有效地解决这类背包问题

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其中:

len(M)是向量M的长度,即向量中元素的数量
max(Mi)是向量M中的最大元素

计算:

import math

def calculate_density(M):
    if all(isinstance(sub_list, list) for sub_list in M):  #检查 M 是否为二维列表
        densities = []
        for sub_list in M:
            len_M = len(sub_list)  #计算子列表的长度
            max_Mi = max(sub_list)  #找到子列表中的最大元素

            density = len_M / math.log2(max_Mi)
            densities.append(density)

        return densities
    else:
        len_M = len(M)  #计算列表的长度
        max_Mi = max(M)  #找到列表中的最大元素

        return len_M / math.log2(max_Mi)

#M_single = []
#M_multiple = [[],[],[]]
#计算单个背包问题的密度
density_single = calculate_density(M_single)
print(f"单个背包的密度是: {density_single}")

#计算多个背包问题的密度
densities_multiple = calculate_density(M_multiple)
for i, density in enumerate(densities_multiple):
    print(f"第 {i + 1} 个背包的密度是: {density}")

构造格:

定义公钥序列M:
- 公钥序列M=(M1,M2,…,Mn),其中每个Mi是一个整数
构造格的基:
- 格的基是一个矩阵,每一行代表一个向量;对于背包问题,可以构造如下矩阵:

- <font style="color:rgb(44, 44, 54);">这里</font>`<font style="color:rgb(44, 44, 54);">S</font>`<font style="color:rgb(44, 44, 54);">是目标值,即背包问题中需要达到的总重量</font>

理解每一行向量V_i:
- 每一行向量Vi的形式为(1,0,…,0,Mi),表示在第i个位置有一个Mi,其余位置为0
明文序列x:
- 明文序列x=(x1,x2,…,xn),其中每个xi只能取0或1,表示是否选择第i个物品
线性组合:
- 对于线性组合x1V1+x2V2+⋯+xnVn−Vn+1,这个组合必然在格点上,因为xi只能取0或1
- 向量t=x1V1+x2V2+⋯+xnVn−Vn+1可以表示为t=(x1,x2,…,xn,0)
向量长度和格的体积:
- 向量t的长度
- 格的体积
Hermite定理:
- 根据Hermite定理,
最短向量:
- 因此,向量t是格L的最短向量,可以用LLL算法来找到它

代码实现:

使用整数环**ZZ**来构造矩阵A

c=
pub=[]
nbit = len(pub)
A = Matrix(ZZ, nbit + 1, nbit + 1)
for i in range(nbit):
    A[i, i] = 1
    A[i, nbit] = pub[i]
A[nbit, nbit] = -c
res = A.LLL()
x= []
for i in range(len(res.rows())):
    row = res.row(i).list()
    is_binary = True
    for m in row:
        if m !=0 and m!=1:
            is_binary=False
            break
    if is_binary:
        print(i,row) #得到一组只有0和1的数组
        flag=''.join(str(j)for j in row[:-1])
        print(hex(int(flag,2)))

使用有理数域**QQ**来构造矩阵L

pubkey = []
c = 
L = matrix(QQ,len(pubkey) + 1,len(pubkey) + 1)
# N = nextprime(iroot(len(pubkey),2)[0]//2)
for i in range(len(pubkey)):
    L[i,i] = 1
    L[i,len(pubkey)] = pubkey[i]

for i in range(len(pubkey)):
    L[len(pubkey),i]=1/2
    
L[-1,-1] = c  #(L[len(pubkey),len(pubkey)]=-c)
L = L.LLL()
#print(L)
for i in range(len(pubkey) + 1):
    M = L.row(i).list()[:-1]
    flag = True
    for m in M:
        if m != 1/2 and m != -1/2: # 否定则为m = 1/2 或 -1/2，故此处and是合理的
            flag = False
            break
    if flag:
        m = ''
        print(i,M)
        for j in M:
            if j == -1/2: # 此处并不确定哪个代表二进制1
                m = '1' + m # 上面分析时说过，得出的是从低位到高位，故后面得出的数放前面可得正确m
            else:
                m = '0' + m
        print(hex(int(m,2)))
        break

posted @ 2025-03-12 00:07 sevensnight 阅读(47) 评论(0) 收藏举报

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