7.19 线性代数

传送门

听完课感觉会的还是会，不会的依然听不懂。一做题，这真的跟讲的那些线性代数有关系吗？

[ABC189E] Rotate and Flip

因为所有点一起动，其实可以记一下整体位移情况的，但既然是线代专场，应该用更优雅的方法。

点的坐标变换可以用矩阵表示，记一个转移矩阵前缀和即可。

CF1662C European Trip

如果没有相邻两次不可以走同一条边的限制，那就是矩阵快速幂板题了。

一开始有一个错误的思路，走两步走重边的情况只有回到起点这一种，所以想到把初始矩阵平方后把主对角线赋为 \(0\)。再依靠这个转移。但这个并不能保证所有移动都没有在相邻步中走重边。比如保证了 \(1\) ~ \(2\) 步与 \(3\) ~ \(4\) 步，但并不能保证 \(2\) ~ \(3\) 步。

后面甚至想过拆点，但发现本质相同

但这是有启发性的，长为 \(k\) 的满足限制的路径条数只与长为 \(k-1\) 与 \(k-2\) 的满足条件的路径条数有关。从 \(k-1\) 转移到 \(k\) 的过程中，新增的不满足条件的路径，恰好为在长为 \(k-2\) 的满足条件的路径中走出去再回到原终点的情况。设 \(dp_{x, i, j}\) 表示长为 \(x\) 的从 \(i\) 到 \(j\) 的满足限制的路径条数，与 \(j\) 有连边的点的集合为 \(S\)，\(d_j\) 表示点 \(j\) 的度数。于是有：

\[dp_{x, i, j} = (\sum_{y \in S} dp_{x-1, i, y})-dp_{x-2, i, j} \times (d_j-1) \]

至于为什么是 \(d_j-1\)，因为从点 \(j\) 沿着 \(i\) 到 \(j\) 的路径方向撤一条边再回来的情况在上一层转移中已经减掉了。

就因为这个一开始以为自己假了，卡了好久，后来发现减 \(1\) 就行啊啊啊啊啊啊啊

具体的转移用矩阵实现转移，只不过要把前两层的状态都放进去，类似于矩阵套矩阵。

记长为 \(x\) 的满足限制的路径条数的答案矩阵为 \(\mathbf{A_x}\)，全为零的矩阵为 \(\mathbf{O}\)，单位矩阵为 \(\mathbf{I}\)，初始存图的邻接矩阵为 \(\mathbf{C}\)，转移矩阵为 \(\mathbf{B}\)。上述矩阵大小均为 \(n \times n\)，那么：

\[\begin{bmatrix} \mathbf{A_{x-2}} & \mathbf{A_{x-1}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{O} & \mathbf{B} \\ \mathbf{I} & \mathbf{C} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{A_{x-1}} & \mathbf{A_{x}} \end{bmatrix}\]

其中：

\[\mathbf{B} = \begin{bmatrix} -(d_1-1)& 0& 0& ... & 0& 0\\ 0& -(d_2-1)& & & & 0\\ .& & .& & & .\\ .& & & .& & .\\ 0& & & & -(d_{n-1}-1)& 0\\ 0& 0& ...& 0& 0& -(d_n-1) \end{bmatrix} \]

矩阵快速幂优化转移即可。注意长为 \(2\) 的合法路径无法从长为 \(0\) 的转移过来，需要特判把主对角线赋为 \(0\)，\(k = 1\) 时要特判。

时间复杂度 \(O(8n^3 \log k)\)

P4035 [JSOI2008] 球形空间产生器

相邻两方程相减可以消去二次项，变为 \(n\) 个 \(n\) 元一次方程，高斯消元法求解即可。

P5337 [TJOI2019] 甲苯先生的字符串

看成图论问题，给出串中相邻元素不能连边，矩阵快速幂求长为 \(n\) 的路径数。

P2447 [SDOI2010] 外星千足虫

发现每两个限制相异或后不改变条件，类似于高斯消元把它消成上三角，用线性基实现。