【题解】 [HNOI2004] L 语言
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题意
题目描述
一段文章 \(T\) 、一个单词 \(W\) 由若干小写字母构成。一个字典 \(D\) 是若干个单词的集合。若文章 \(T\) 可以被分成若干部分，且每一个部分都是字典 \(D\) 中的单词，则称一段文章 \(T\) 在某个字典 \(D\) 下是可以被理解的。
例如字典 \(D\) 中包括单词 \(\texttt{is},\texttt{name},\texttt{what},\texttt{your}\)，则文章 \(\texttt{whatisyourname}\) 是在字典 \(D\) 下可以被理解的，因为它可以分成 \(4\) 个单词：\(\texttt{what},\texttt{is},\texttt{your},\texttt{name}\)，且每个单词都属于字典 \(D\)，而文章 \(\texttt{whatisyouname}\) 在字典 \(D\) 下不能被理解，但可以在字典 \(D'=D\cup\{\texttt{you}\}\) 下被理解。这段文章的一个前缀 \(\texttt{whatis}\)，也可以在字典 \(D\) 下被理解，而且是在字典 \(D\) 下能够被理解的最长的前缀。
给定一个字典 \(D\)，你的程序需要判断若干段文章在字典 \(D\) 下是否能够被理解。并给出其在字典 \(D\) 下能够被理解的最长前缀的位置。
输入格式
第一行两个整数 \(n\) 和 \(m\)，表示字典 \(D\) 中有 \(n\) 个单词，且有 \(m\) 段文章需要被处理。
接下来 \(n\) 行，每行一个字符串 \(s\)，表示字典 \(D\) 中的一个单词。
接下来 \(m\) 行，每行一个字符串 \(t\)，表示一篇文章。
输出格式
对于输入的每一篇文章，你需要输出一行一个整数，表示这段文章在字典 \(D\) 可以被理解的最长前缀的位置。
数据规模与约定
- 对于 \(80\%\) 的数据，保证 \(m \leq 20\)，\(|t| \leq 10^6\)。
- 对于 \(100\%\) 的数据，保证 \(1 \leq n \leq 20\)，\(1 \leq m \leq 50\)，\(1 \leq |s| \leq 20\)，\(1 \leq |t| \leq 2 \times 10^6\)，\(s\) 与 \(t\) 中均只含小写英文字母。
提示
- 请注意数据读入对程序效率造成的影响。
- 请注意【数据规模与约定】中标注的串长是单串长度，并不是字符串长度和。
思路
由于你谷的数据有加强，所以主要以你谷上的得分为对照。
壹
文本串的前缀\(s[0,i]\)能被理解，当且仅当某个位置\(j \in [0,j)\)满足\(s[0,j]\)能够被理解，并且\(s[j+1,i]\)能够被理解。
一个朴素的想法：
用und数组记录文本串\(s[0,und[tmp]]\)恰好能被理解时的位置。文本串从头到尾遍历，每次都枚举und里表示的能被理解的前缀，然后在字典里面验证\(s[und[j]+1,i]\)是否能被理解。最后更新und数组。
用f数组记录截至当前的i，能够被理解的最长前缀。由于能被理解的最长前缀长度序列不下降，因此递推时只需要取当前和前一位置f数组的较大值。
朴素的算法必无法从这题手里骗到满分。事实上，\(O(大约n^2)\)的时间复杂度实在算不得优秀。
55pts on Luogu-Code1
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=2e6+5;
int n,m,lm;
string w;
int trie[500][27],cnt;
bool ex[500];
ll f[N],und[N],tmp;
inline ll lkup(ll l,ll r){
if(l>r) return 0;
int p=0;
ll ret=0;
for(int i=l;i<=r;i++){
int c=w[i]-'a';
if(!trie[p][c]) return ret;
p=trie[p][c];
if(ex[p]) ret=i-l+1;
}
if(ex[p]) ret=r-l+1;
return ret;
}
inline ll find(string s){
memset(f,0,sizeof(f));
tmp=0;
int l=s.length();
for(int i=0;i<l;i++){
f[i]=lkup(0,i);
for(int j=tmp-1;j>=0;j--){
f[i]=max(f[i],und[j]+1+lkup(und[j]+1,(ll)i));//[j+1,i]
if(f[i]==i+1) break;
}
f[i]=max(f[i],f[i-1]);
if(f[i]==i+1) und[tmp++]=i;
}
return f[l-1];
}
inline void ins(string str){
int l=str.length();
lm=max(lm,l);
int p=0;
for(int i=0;i<l;i++){
int c=str[i]-'a';
if(!trie[p][c]) trie[p][c]=++cnt;
p=trie[p][c];
}
ex[p]=1;
}
inline string read(){
string s;
char ch=getchar();
while(ch<'a' || ch>'z') ch=getchar();
while(ch>='a' && ch<='z'){
s+=ch;
ch=getchar();
}
return s;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
while(n--){
w=read();
ins(w);
}
while(m--){
w=read();
printf("%lld\n",find(w));
}
return 0;
}
贰
Many days later……
据说正解是AC自动机，那就先打一个AC自动机板子吧（错误思想）。
怎么保证连着匹配前缀呢？打到最后灵光一闪，直接在trie上比较就可以了啊！哪里用得着什么AC自动机！
这次打出来和Code1有几点不同：
90 pts on Luogu-Code2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int S=2e6+5;
const int N=400;
int n,m,ml;
int tr[N*100][30],cnt;//,fail[N*100]（留着做纪念）
char s[N],t[S];
bool ex[N*100],f[S];
inline int query(char r[],int len,int st){
int p=0,ret=0;
len=min(st+ml,len);
for(int i=st;i<len;i++){
int c=r[i]-'a';
if(tr[p][c]){
if(ex[tr[p][c]]){
f[i]=true;
ret=i+1;
}
p=tr[p][c];
} else break;
}
return ret;//maximum prefix length that can reach
}
inline int find(char r[]){
int l=strlen(r);
int ret=0;
ret=query(r,l,0);
for(int i=0;i<l;i++){
if(f[i]){
ret=max(ret,query(r,l,i+1));
}
}
return ret;
}
inline void ins(char r[]){
int l=strlen(r);
ml=max(ml,l);
int p=0;
for(int i=0;i<l;i++){
int c=r[i]-'a';
if(!tr[p][c]) tr[p][c]=++cnt;
p=tr[p][c];
}
ex[p]=1;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf(" %s",s);
ins(s);
}
while(m--){
memset(f,0,sizeof(f));
scanf(" %s",t);
printf("%d\n",find(t));
}
return 0;
}
/*
递推，如果不想dfs的话
把多模式串匹配问题化归成一个模式串匹配问题。
不用fail,不像自动机。
*/
至此，LOJ上就可以AC了，但是你谷的加强数据还是过不了╮(╯▽╰)╭
叁
90 pts on Luogu-Code3
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int S=2e6+5;
const int N=400;
int n,m,ml;
int tr[N*100][30],cnt;
char s[N],t[S];
bool ex[N*100],f[S];
ll zt;
inline int query(char r[],int len,int st) {
int p=0,ret=0;
len=min(st+ml,len);
for(int i=st; i<len; i++) {
int c=r[i]-'a';
if(tr[p][c]) {
if(ex[tr[p][c]]) {
zt|=(1<<(i-st+1));//f[i]=true;
ret=i+1;
}
p=tr[p][c];
} else break;
}
return ret;
}
inline int find(char r[]) {
int l=strlen(r);
int ret=0;
ret=query(r,l,0);
int i=0;
while(!(zt&1) && zt) zt>>=1,i++;
while(i<l && zt) {
ret=max(ret,query(r,l,i));
zt>>=1; i++;
while(!(zt&1) && zt) zt>>=1,i++;
}
return ret;
}
inline void ins(char r[]) {
int l=strlen(r);
ml=max(ml,l);
int p=0;
for(int i=0; i<l; i++) {
int c=r[i]-'a';
if(!tr[p][c]) tr[p][c]=++cnt;
p=tr[p][c];
}
ex[p]=1;
}
int main() {
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1; i<=n; i++) {
scanf(" %s",s);
ins(s);
}
while(m--) {
memset(f,0,sizeof(f));
scanf(" %s",t);
printf("%d\n",find(t));
}
return 0;
}
/*
递推，如果不想dfs的话
把多模式串匹配问题化归成一个模式串匹配问题。
不用fail,不像自动机。
*/
“人类的使命，在于自强不息地追求完美”，文学巨匠托尔斯泰曾言。虽然至此，已经可以ACLOJ上的题目，但是没有过你谷上的加强样例，笔者怎么会止歇？
肆
One day later……
笔者再次遇到了瓶颈。
“不破不立”，只有敢于挑战思维定式，才能创造新的成果，突破瓶颈。我在瞎写
代码实现
这是与Code 3的不同之处：
数组：
len数组为从根节点到字母i到节点到路径上，所有单词末尾的位置到标记（例如有i,it，t处的len便是1），不含当前位置（都往前记一位）- 直接用
ex数组储存某个单词的长度
主函数：
- 增加了建AC自动机的环节
- 把Code3的
find套query简化成了直接query
query函数：
- 直接把文章\(T\)扔到字典图上从前往后跑
f[i]为真代表从i-1到i答案可能在i或i后面- \(x\)为数组
f的二进制记录（从高位到低位是\(1 \rightarrow i\)）。
怎么想的：
AC自动机毕竟是字符串匹配利器，不用白不用。这道题和模板题的差别在于，要一个完整的单词才算数，因此想一种方法，让匹配字母的同时关注这个单词是否结束。把单词是否结尾也附在字典图上。所以想到位运算（可以压缩状态）。重点是Code3用一种直接匹配的方法，需要屡次确认是否匹配。而用位运算改进后效率大幅提升。
关于位运算句：
例如 \(x=(101001)_2\)
\(len[p]=(100000)_2\)
此时x&p>0，f[i]为真。
因为p最后一位是0，所以p不是单词的末尾，所以p所在单词的末尾一定在p后面，这意味着可以用len[p]中1标记结尾到单词和p所在的单词来替换当前组合，使答案更长。
如果len[p]的末位是1，那么替换恰好进行到位置i。因此答案\(\geq\)当前位置i。
AC Code
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int S=2e6+5;
const int N=405;
int n,m;
int tr[N*100][30],cnt,ex[N*100],fail[N*100];
int f[S],len[N*100],trans[N*100];
char s[N],t[S];
inline int query(char r[]) {
int p=0,x=0;
int l=strlen(r+1);
f[0]=1;
for(int i=1; i<=l; i++) {
p=tr[p][r[i]-'a'];
x=((x<<1)|f[i-1])&((1<<20)-1);
f[i]=(x&len[p])!=0;
}
for(int i=l;i>=1;i--){
if(f[i]) return i;
}
return 0;
}
inline void build_AC(){
queue <int> q;
for(int i=0;i<26;i++){
if(tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);
}
while(!q.empty()){
int p=q.front();
q.pop();
for(int i=0;i<26;i++){
if(tr[p][i]){
q.push(tr[p][i]);
fail[tr[p][i]]=tr[fail[p]][i];
}
else tr[p][i]=tr[fail[p]][i];
}
}
for(int i=1;i<=cnt;i++){
int j=i;
while(j){
if(ex[j]) len[i]|=(1<<(ex[j]-1));
j=fail[j];
}
}
}
inline void ins(char r[]) {
int l=strlen(r);
int p=0;
for(int i=0; i<l; i++) {
int c=r[i]-'a';
if(!tr[p][c]) tr[p][c]=++cnt;
p=tr[p][c];
}
ex[p]=l;
}
int main() {
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1; i<=n; i++) {
scanf(" %s",s);
ins(s);
}
build_AC();
while(m--) {
scanf(" %s",t+1);
printf("%d\n",query(t));
}
return 0;
}
