P3175 [HAOI2015]按位或

P3175 [HAOI2015]按位或

洛谷：P3175 [HAOI2015]按位或

Solution

按位考虑。

对于集合 \(S\)，记 \(\min(S)\) 表示 \(S\) 中第一次出现 \(1\) 的时间，\(\max(S)\) 表示 \(S\) 中第一次全为 \(1\) 的时间。则：

\[E[\max(S)] = \sum\limits_{T \subseteq S, S \neq \emptyset} (-1)^{|T| + 1}E[\min(T)] \]

记全集为 \(U\)，则答案为 \(E[\max(U)]\)。

\[E[\max(U)] = \sum\limits_{S \subseteq U, S \neq \emptyset} (-1)^{|S| + 1}E[\min(S)] \]

问题转为求每个子集 \(S\) 的 \(E[\min(S)]\)。

直接用期望的定义：

\[E[\min(S)] = \sum\limits_{i = 1}^{\infty}iP(\min(S) = i) \]

然后又算 \(P(\min(S) = i)\)。记 \(P(T)\) 表示当前要异或的数是 \(T\) 的概率：

\[P(\min(S) = i) = \left( \sum\limits_{T \cap S = \emptyset}P(T) \right)^{i - 1}\left( 1 - \sum\limits_{T \cap S = \emptyset}P(T) \right) \]

记 \(p = \sum\limits_{T \cap S = \emptyset}P(T)\)，\(P(\min(S) = i) = p^{i - 1}(1 - p)\)。令

\[X = E[\min(S)] = (1 - p)\sum\limits_{i = 1}^{\infty}ip^{i - 1} \]

\[pX = (1 - p)\sum\limits_{i = 1}^{\infty}ip^{i} = (1 - p)\sum\limits_{i = 1}^{\infty}(i + 1)p^{i} - (1 - p)\sum\limits_{i = 1}^{\infty}p^{i} = (X - (1 - p)) - p \]

解得

\[X = \frac{1}{1 - p} = \frac{1}{1 - \sum\limits_{T \cap S = \emptyset}P(T)} = \frac{1}{1 - \sum\limits_{T \subseteq \complement_{U}S}P(T)} \]

求子集和用 FWTOR。

注意判断无解。