2023.02.24琐记

2023.02.24琐记

颓：连着两个彩活怎么办啊 我还是想要几把兔

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2023.02.24（1）

T1

优化暴力。即相邻两个操作不能都为异或。那么在统计答案时对每个 \(x \in [0, u]\) 的 \(x\) 次操作都看一遍。

需要注意的是，当剩余操作次数为偶数时才能更新答案，这样才能让异或操作配对。

注意 ans 初始值要设为负无穷。

T2

给边染色直到不能操作，要求形成的新图中不能有奇环。

求最终形成的染色方案数。

\(n\le 16\)，一定要往 \(2^n\) 方向去想。

图连通且极大，因此新图中每个点都存在，且新图也连通。

将原图视作很多个环连在一起，猜测答案为每个环的方案数相乘。

如果是大小为 \(x\) 的奇环，那么只有 \(x - 1\) 种方法。

否则有 \(x\) 种方法。

但上述只针对于简单环。

考虑环套环的情况。

补：这是二分图啊喂。枚举一下所属暴力判连通就可以了。

T4

交互，有 \(k\) 个坏人和 \(n - k\) 个好人，\(\frac{n}{3} < k < \frac{2n}{3}\)，每次询问三个人 \(a,b, c\)，返回是坏人多（\(r = 0\)）还是好人多（\(r = 1\)），在 \(n + 6\) 次询问内得到 \(k\) 和 \(k\) 个坏人的编号。

简单版 \(2n\)：

对于 \(n + 6\)，保证 \(3|n\)，不妨拆成 \(3\times (\frac{n}{3} + 2)\)。

1 2 3  
2 3 4  
3 4 5

T6

栈

2023.02.24（2）

T1

问题为删去最小的线段数量让所有位置的覆盖次数 \(\le k\)。

贪心地选择覆盖到当前位置的区间中右端点最大的。

考虑将区间按左端点为第一关键字从小到大排序，右端点为第二关键字从大到小排序。

区间操作没有必要整数据结构，直接差分维护即可。

问题在于如何找到一个位置对应的最优线段。

在一个位置处添加一些线段，并删除右端点小于当前位置的线段，线段按右端点从大到小排序。

不妨重新嘎哦一个结构体重载排序方式为仅按右端点排序，然后 set 维护。

还没想到线性，并且考试时是 easy version，所以就这样吧。反正 \(O(n\log{n})\) 也能过 hard version。

这么看来一开始只需要把线段按左端点排序就可以了哦。嘠哦。

T2

对 “有向边” 统计被反向经过的数量然后等比数列求和。

考虑一条路径 \(s \to t\) 对有向边 \(u \to v\) 是否有贡献。

• \(u \to v\) 自叶向根：\(s\) 不在 \(u\) 子树内，\(t\) 在 \(u\) 子树内。
• \(u \to v\) 自根向叶：\(s\) 在 \(u\) 子树内，\(t\) 不在 \(u\) 子树内。

判断在不在子树内可以用 dfs 序。

对每一条边，都需要求出给定序列中满足条件的 \((s, t)\) 的数量。

考虑枚举边，此时子树区间固定。

考虑将给定序列分成若干线段（线段端点位置是 dfs 序）。

若是自叶向根边，则左端点在区间左侧，右端点在区间内的线段有贡献。

若是自根向叶边，则左端点在区间内，右端点在区间右侧的线段有贡献。

如何快速（\(O(\log{n})\) 甚至是 \(O(1)\)）统计有贡献的线段数量。

一种想法是预处理以某个点为左/右端点时向右/左延伸出去的线段数量，前缀和求出区间和，然后减掉区间内的线段数量。然后如何快速求出一个区间内的线段数量。

用总的线段数量减掉两边的线段数量即可。

错误的。应该用总数减去有一个端点不在区间内的线段数量。

所以是可以 \(O(1)\) 算的！

貌似总复杂度是线性的，怪不得 \(K\) 开到 \(10^6\)。

细节：\(K - 1\) 条线段是有向的，询问的 \((u, v)\) 也是有序的，处理上一定要小心。

具体地：若 \(dfn_{u} < dfn_v\)，自根向叶；否则自叶向根。

上面的贡献叙述不太准确，因为要考虑线段的有向：有的线段从左向右，有的线段从右向左。

把正序线段称作一类线段，逆序线段称作二类线段，分别计算。

• 自叶向根：
  • 对于一类线段：左端点在区间左侧，右端点在区间内
  • 对于二类线段：左端点在区间内，右端点在区间右侧
• 自根向叶：
  • 对于一类线段：左端点在区间内，右端点在区间右侧
  • 对于二类线段：左端点在区间左侧，右端点在区间内

需要预处理：

• 以点 \(x\) 为左端点向右延伸的线段数量
• 以点 \(x\) 为右端点向左延伸的线段数量
• \([1, x]\) 的线段数量（右端点 \(\le x\) 的线段数量）
• \([x, n]\) 的线段数量（左端点 \(\ge x\) 的线段数量）

那个

区间内的线段数量 二维数点，，，

捏麻麻滴树上差分啊

T3