2023.02.22琐记

2023.02.22琐记

我将忠于大爱与真理

而不是道义与科学

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每次粘贴失败都出现一个 v

以后每天又多了一件幸福的事

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2023.02.22

T1

考察有希望的字符串有什么性质。

首先，显然，\(cnt_{-} > cnt_{+}\)。

-- 变成 + 偏移量为 \(3\)。因此有希望的字符串需满足 \(cnt_{-}-cnt _{+} \equiv 0\pmod{3}\)。

还有就是要有 -- 去变成 +，这个发现是不用考虑的，一定办得到。

现在来看怎么做。

钦定区间右端点 \(r\) 从左往右扫，对每个 \(r\) 需要找到 \(cnt_{-} - cnt_{+} \equiv 0 \pmod{3}\) 的左端点 \(l\) 的数量。

前缀和表示：\(s_{r} - s_{l - 1} \equiv t_r - t_{l - 1} \pmod{3}\)。\(s\) 是 -，\(t\) 是 +。

移项：\(s_{r} - t_{r} \equiv s_{l - 1} - t_{l - 1} \pmod{3}\)。

如果没有大小限制那就很简单，开三个模意义下的计数器就可以了。

问题就在于需要使 \(s_r - s_{l - 1} \ge t_{r} - t_{l - 1}\)。

再来移项：\(s_{r} - t_{r} \ge s_{l - 1} - t_{l - 1}\)。

感觉很可以数据结构维护。对三个余数开树状数组！

好吧这居然才 2100*。。。

T2

从 \(n\) 个数中找两个数使他们的最小公倍数最小。

这题面也太简洁了吧。。。

\(\operatorname{lcm}(n, m) = \frac{nm}{\gcd(n, m)}\) 还是不太好做。

考虑一下随机化可不可做。完全可以出极端数据，貌似不可做。

那就从极端数据开始考虑，假设一开始所有数都是互质的，那选最小的两个数即可。

没什么思路，先跳一下。

对每个数枚举因数，对每个因数当作 \(\gcd\) 开个 pair 存最小的两个数。

嗯，这样感觉很对！

T4

说不定可以 dp。

考虑前 \(i\) 种操作，最大值为 \(j\) ，，，然后不会了

这个问题很奇怪，肯定需要转化成什么。

对于一个点，它对应了若干个能操作到它的区间，不妨对最大值出现的位置分开考虑，只用这些能够覆盖到当前位置的区间做一下背包，那当前位置一定是最大值。枚举位置 \(O(n)\)，做背包又是 \(O(n^2)\) 的，貌似很恼火。

考虑如何优化，首先考虑到的是把枚举点变成枚举区间，但可以轻松构造一层套一层操作区间 hack 掉。

等等，像这种包含的情况，只需做极大的那一个区间不就可以了吗？

但是正确的时间复杂度还是不好保证。

突然灵光一闪，把每条线段看作物品，则每个物品从左到右出现的时间是连续的，对每个位置删除或增添物品是 \(O(n)\) 的，且只需判断是否可达，还可用 bitset 优化，总共只有 \(2n\) 个端点，因此修改背包只有 \(2n\) 次，时间复杂度 \(O(\frac{n^2}{w})\)。

捏麻麻滴，不会删除物品。

可能还不能用 bitset 优化，