2023.02.21琐记

2023.02.21琐记

无法评判

用道义取得的战胜

一个平和的世界

只有绝对的

以爱换爱

---

我愿用冷漠伪装善意

也不做虚伪的善意

---

2023.01.15

故国天舟逝粟尘

负血苍夜忆平生

心桃漠冠箭银紫

今日烟花弥际城

---

昨日

神奈跌落了

今日

神奈跌落了

观铃降生了

明日

神奈跌落了

观铃死去了

...

她们都曾有一个清澈美好的梦

---

2023.02.21（1）

T2

对每个数的小质数和大质数分开考虑。

\(1000\) 以内的质数有 \(m = 168\) 个，预处理出这部分的前缀和数组，每次 \(O(m)\) 查询。

对于大质数，开个桶莫队一下，分别记录模 \(3\) 等于 \(0, 1, 2\) 的数的数量的数量。

就是莫队有点搞忘了。QWQ

Good Job!

T4

没有思路，我猜答案不会很大。

T5

最小生成树板子。？

给定连边方式为 \(x \to (x + A_i) \bmod{n}\) 花费 \(C_i\) 的代价。

相当于给了 \(nm\) 条边！

你再一看，\(n \le 10^9\)！

那可能不会往正常的 Kruskal 之类的上面想了。

又是取模下取遍所有点，真是容易想到 ABC290D 。

盲猜一波所有数的 gcd 大于 \(1\) 则无解。

事实上不是这样的。

感觉上把无解判对了的话正解就出来了。

模拟几遍后继续猜测。

现有事实：

• \(n = 6, a_1 = 2\)，不可。

  分成两个大小为三的环。

• \(n = 6, a_1 = 3\)，不可。

  分成三个大小为二的连通块。

• \(n = 6, a_1 = 2, a_2 = 3\)，可。

• \(n = 6, a_1 = 4\)，不可。

  分成两个大小为三的环。

• \(n = 8, a_1 = 2, a_2 = 4\)，不可。

  分成两个大小为四的环。

• \(n = 12, a_1 = 4, a_2 = 6\)，不可。

  分成两个大小为六的环。

• \(n = 12, a_1 = 4, a_2 = 8\)，不可。

  分成四个大小为三的环。

\(连通块数 = \gcd(n, a_1, a_2,\cdots)\)

只需被选的数的 \(\gcd\) 与 \(n\) 互质即可。

现在考虑如何将被选的数进行加边。

从 \(n = 6, a_1 = 2, a_2 = 3\) 开始分析。

• \(4a_1 + a_2\)，可。
• \(2a_1 + 3a_2\)，可。（对于 \(a_3\) 最多只有 \(3\) 种本质不同的边）

先蒙一手贪心：尽可能多的选权值最小的那一组，然后从小到大找到可以和它匹配的另一组（即 \(\gcd\) 为 \(1\)）

那么还有个问题就是找到 \(a_1\) 对应的本质不同的边的数量。

又来找规律：

• \(n = 6, a_1 = 3\)，三种。
• \(n = 6, a_1 = 4\)，六种。（但最多选四条，剩下一条凑 \(\gcd = 1\)）

猜测只有 \(a_1 = \frac{n}{2}\) 时只能选 \(a_1\) 种。

但这个贪心对吗？

可以选多个数吗？

比如 \(n = 24, a_1 = 18\)，然后有 \(9, 2, 7\)。

如果选 \(9, 2\) 比只选 \(7\) 更优呢？

另外，如果 \(7\) 的耗费很小，而 \(2, 9\) 的耗费很大，可不可以只选 \(7\) 呢？（这个确实还是可以选很多 \(a_1\) 然后再选 \(7\)）

欸，所以 \(a_1\) 还是可以定下来，问题就在于在剩下的 \(m - 1\) 种边中找 \(n - 1 - c\) 条使 \(\gcd = 1\) 且花费最小。

果不其然，之前的那种只选两种边的方式 WA 了 \(9\) 个点。

发现除开特殊情况只需多选一条边就好了，而这种情况是没问题的。

只需特殊考虑 \(a_1 = \frac{n}{2}\) 时，需要再选 \(n - a_1 - 1\) 条边。

又发现了一个神奇的事情，把剩下的数 \(x\) 变成 \(\gcd(x, d)\)，然后选 \(\gcd = 1\) 的组，貌似又变成了一个子问题？

贪心选择 \(a_2\)，答案一定不会变劣...

2023.02.21（2）

T1

记 \(f_{i, j, k}\) 表示考虑前 \(i\) 个物品，共选 \(j\) 个物品，\(k\) 种物品的概率。

\(f_{0, 0, 0} = 1\)。

\[f_{i, j + x, k + 1} \leftarrow p_{i}^{x} f_{i - 1, j, k}, x > 0 \\ f_{i, j, k} \leftarrow (1 - \sum\limits_{x = 1}^{m - j}p^{x})f_{i - 1, j, k} \]

\(p_i\) 是预算出来的概率。

---

重新来。

考虑把所有分配情况的概率累加起来。

\(f_{i, j, k}\) 表示考虑前 \(i\) 个物品，共选 \(j\) 个物品，\(k\) 种物品的概率和。

这次考虑清楚了，如果不选，可以直接转移，不用那个系数。

T2

连通块内每个点互达，因此原图上不直接相连的点一定在不同的连通块。

捏麻麻滴，乱搞过了？

T3

大水题

T4

概率太菜了，做计数总没问题吧？