CodeChef 因子树

贪心+预处理

首先说一下一个简单的贪心
在枚举 \(x\) 的子树时，相当于枚举 \(x\) 的因子 \(y(y!=1)\)
再遍历 \((x/y)\) 树
若\(y\)不为质数，则\(y\)必可以拆分成两个大于1的数\(p,q\)
当\(y=p\)或\(y=q\)时包含了原树且多了一个节点，肯定有更优方案
故我们枚举的\(y\)必为质数

Part1:P50

注意到每个数所对应的因子树都是确定的
一个数为多颗树的子树，也就是说被询问到多次，即重复子问题
检测到DP关键词，于是考虑DP

对于任意一个\(x\in[1,1e6]\),所含质因子的个数不超过8个
可以先预处理出每个数的质因子，在转移时直接枚举质因子即可

Part2:P70

一个数的因子不超过\(2\sqrt x\)
也就是说我们在DP时展开的树不会超过2e6个
离散后DP即可

Part3:P100

对于如此大的数据范围，继续DP显然是不够的
然而，对于这类考虑因子的题，每个数的因子情况都不相同
显然对于每个数都要单独决策
在回顾先前的DP写法，在决策除去哪个质数时,枚举了所有质因数
导致DP所展开的树迅速增大，于是继续考虑贪心，直接得出最优的质因数

是删去指数最大的质因数啦

证明:
设\(x= a_1^{b_1} \cdot a_2^{b_2} .....\)
设删除一个\(a_1\)的操作在删除\(a_2\)后且\(b_1>b_2\),当前\(x\)的因子总数为\(tot\)
\(ans+=tot/(b_2+1)\times b_2+tot/(b_2+1)\times b_2/(b_1+1)\times b_1\)
若先删除 \(a_1\)
则有 \(ans+=tot/(b_1+1)\times b_1+tot/(b_1+1)\times b_1/(b_2+1)\times b_2\)
显然先删除 \(a_1\)的操作对答案贡献更大，且接下来的子树相同

于是就可以预处理出\([A,B]\)区间内的数的质因数
查询时用一个数据结构维护指数的最大值模拟删除即可

关于预处理，只需要在筛\(1e6\)以下素数的时候同时像埃氏筛一样循环一遍\([A,B]\)即可
时间复杂度\(O(nln(n))\)