容斥原理

广义容斥原理

下面在集合 \(\Omega\) 上讨论不同性质形成的子集 \(X_1,X_2 \cdots X_n\)
记 \(\alpha(m) = \sum |X_{i1} \cap X_{i2} \cap X_{i3} \cap \cdots \cap X_{im}|\)
\(\beta(m)\) 为恰好满足 \(m\) 条性质的元素个数，则

\[\Large \beta(m) = \sum_{k=m}^n(-1)^{k-m}{k \choose m}\alpha(k) \]

\(\text{Proof}\) ：
贡献法。设 \(s \in \Omega\)，假设 \(s\) 有 \(l\) 条性质。

• 若 \(l < m\)，对等式两边贡献为 \(0\)
• 若 \(l = m\)，对等式两边贡献为 \(1\)
• 若 \(l > m\)，对等式左边贡献为 \(1\)，对等式右边：
  • 在 \(\alpha(m)\) 被算 \({l \choose m}\) 次
  • 在 \(\alpha(m+1)\) 被算 \({l \choose m+1}\) 次
  • \(\cdots\)
  • 在 \(\alpha(l)\) 被算 \({l \choose l}\) 次
    \(l > m\) 对等式右边贡献为：

\[\begin{aligned} C &= \sum_{k=m}^l (-1)^{k-m} {k \choose m} {l \choose k} \\ &= \sum_{k=m}^l (-1)^{k-m} {l \choose m} {l-m \choose k-m}\\ &= {l \choose m} (1-1)^{l-m}\\ &= 0 \end{aligned} \]

二项式反演

\[\Large f_{n} = \sum_{i=0}^n {n \choose i} g_i \longleftrightarrow g_n = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} {n \choose i} f_i \]

子集反演

\[\Large f_{(S) } = \sum_{T \subseteq S} g_{(T)} \]

\[\Large g_{(S)} = \sum_{T \subseteq S} (-1)^{|S|-|T|} f_{(T)} \]

kth Min-Max反演：

\[\large \text{Kth}\max(S) = \sum_{S'\subseteq S} \min(S') \times (-1)^{|S'|-k} \times {|S'|-1 \choose k-1} \]

\[\large \text{Kth}\min(S) = \sum_{S'\subseteq S} \max(S') \times (-1)^{|S'|-k} \times {|S'|-1 \choose k-1} \]