差分约束

解决形如 $a_i \le x_i - y_i \le b_i$ 的不等式组，其中 $a_i,b_i$ 是给定的常数。

我们尝试连接边通过 $\operatorname{spfa}$ 解决。
连接以下两条边，跑最短路。
$$\Large{x_i \overset{-a_i}{\to} y_i}$$
$$\Large{y_i \overset{b_i}{\to} x_i}$$

例题：
[P7515](https://www.luogu.com.cn/problem/P7515)

Alice 有一个 $n \times m$ 的矩阵 $a_{i, j}$（$1 \le i \le n$，$1 \le j \le m$），其每个元素为大小不超过 ${10}^6$ 的非负整数。

Bob 根据该矩阵生成了一个 $(n - 1) \times (m - 1)$ 的矩阵 $b_{i, j}$（$1 \le i \le n - 1$，$1 \le j \le m - 1$），每个元素的生成公式为

$$ b_{i, j} = a_{i, j} + a_{i, j + 1} + a_{i + 1, j} + a_{i + 1, j + 1} $$

现在 Alice 忘记了矩阵 $a_{i, j}$，请你根据 Bob 给出的矩阵 $b_{i, j}$ 还原出 $a_{i, j}$。



数据：$1 \le T \le 10$，$2 \le n, m \le 300$，$0 \le b_{i, j} \le 4 \times {10}^6$。

如果没有数据范围的限制，我们直接令 $a_{1\sim n,m},a_{n,{1 \sim m}}$ 都为 $0$，直接反解。

考虑调整 $a$ 直到合法或者输出无解。

因为 $ b_{i, j} = a_{i, j} + a_{i, j + 1} + a_{i + 1, j} + a_{i + 1, j + 1} $，所以只要贴着的四个和不变就可以。

考虑加减构造，每行 $+r_i,-r_i,+r_i,-r_i \ \cdots$，
每列 $+c_i,-c_i,+c_i,-c_i \ \cdots$  

然后会出现形如 $x+y,x-y$ 的限制。

我们再根据奇偶性调整符号符合 $x-y$，套上差分约束就行了。

#include<bits/stdc++.h>

const int N=3e2+20;
const int inf=1e6;
using namespace std;

struct edge{
  int next,to,w;
}e[N*N<<1];
int head[N<<1],cnt;
void add(int f,int t,int w){
  e[++cnt]=edge{head[f],t,w},head[f]=cnt;
}

int T,n,m;
int a[N][N],b[N][N];
int dis[N<<1],s,len,d[N<<1],vis[N<<1];

bool spfa(int s){
  memset(dis,0x3f,sizeof dis);
  memset(vis,0,sizeof vis);
  memset(d,0,sizeof d);
  queue<int>Q;
  dis[s]=0;
  Q.push(s);
  while(Q.size()){
    int u=Q.front();
    Q.pop();
    vis[u]=0;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
      int v=e[i].to;
      if(dis[v]>dis[u]+e[i].w){
        dis[v]=dis[u]+e[i].w;
        if(++d[v]>n+m)return 0;
        if(!vis[v]) Q.push(v);
        vis[v] = 1;
      }
    }
  }
  return 1;
}

void solve(){
  cin >> n >> m;
  len = n + m; cnt = 0;
  for(int i=1;i<=n+m+2;++i)head[i]=0;
  for(int i=1;i<n;++i){
    for(int j=1;j<m;++j){
      cin>>b[i][j];
    }
  }
  memset(a,0,sizeof a);
  for(int i=n-1;i>=1;--i)
  for(int j=m-1;j>=1;--j){
    a[i][j]=b[i][j]-a[i+1][j]-a[i][j+1]-a[i+1][j+1];
  }
  for(int i=1;i<=n;++i){
    for(int j=1;j<=m;++j){
      if(!((i + j) & 1)) {
        add(i,n+j,a[i][j]);
        add(n+j,i,inf-a[i][j]);
      }  else {
        add(n+j,i,a[i][j]);
        add(i,n+j,inf-a[i][j]);
      }
    }
  }
  int tag = spfa(1);
  if(!tag) {
    cout << "NO\n";
    return;
  }
  for(int i=1;i<=n;++i){
    for(int j=1;j<=m;++j){
      if(!((i + j) & 1)) {
        a[i][j] += dis[i] - dis[n+j];
        if(a[i][j] < 0 || a[i][j] > inf) {cout << "NO\n"; return;}
      } else {
        a[i][j] += - dis[i] + dis[n+j];
        if(a[i][j] < 0 || a[i][j] > inf) {cout << "NO\n"; return;}
      }
    }
  }
  cout << "YES\n";
  for(int i=1;i<=n;++i){
    for(int j=1;j<=m;++j)
        cout << a[i][j] << " ";
    cout << endl;
  }
}


int main(){

  cin >> T;
  while(T--){
    solve();
  }
  return 0;
}