线性基学习笔记

线性相关
对于一个集合 $S$ 如果存在一个元素 $s'$ 使得 $S$ 在去除这个元素后仍能通过剩余元素表示出该元素，就说 $S$ 是线性相关的，反之为线性无关。
线性基 我们称集合 $B$ 是一个集合 $S$ 的线性基，当且仅当：

1. $S \subseteq span(B)$
2. $B$ 是线性无关的。

据此我们可以推出线性基的性质：

1. $B$ 的任何真子集都不为 $S$ 的线性基。
2. $S$ 中的任一元素都可以唯一被 $B$ 中元素表示出来。

给出一个异或线性基的构造方法：
假设 $L$ 为 $S$ 中的最大元素二进制下的位数，我们用一个 $\left[ 0,L-1 \right ]$ 位的数组表示线性基。 设当前要插入的数为 $x$ ，从高位开始考虑，设考虑到第 $y$ 位。

• 若 $x \oplus 2^y = 0$ 则跳过
• 若第 $y$ 已经插入了数，则 $x \gets x \oplus a_y$
• 若第 $y$ 位为空，$a_{y'} \gets x \oplus a_{y'}$ ，$y' \in [0,y-1]$，然后再插入 $x$

正确性：考虑贪心，因为第 $y$ 位是 $1$ 的贡献比小于 $y$ 的所有位都为 $1$ 的贡献更大，所以能选高位就选高位。下面两种写法都基于这个贪心，不同的是一种写法是在插入时处理，另一种是在计算答案时处理。

线性基两种写法

$FIRST$

void insert(long long x) {
    int i = N;
    long long L = 1ll << i; 
    for(;L;L >>= 1, i--) {
        if(! (x & L)) continue;
        if(a[i]) x ^= a[i];
        else {
            for(int j = 0;j < i;j++) if(x & (1ll << j)) x ^= a[j];
            for(int j = i + 1;j <= N;j++) if(a[j] & L) a[j] ^= x;
            a[i] = x;
            return;
        }
    }
}
long long sum() {
    long long ans = 0;
    for(int i = 0;i <= N + 1;i++) ans ^= a[i];
    return ans;
}

$SECOND$

void insert(long long x)
{
    int i = N;
    long long L = 1ll << N;
    for (; L; L >>= 1, i--)
        if ((x & L))
        {
            if (a[i]) x ^= a[i];
            else
            {
                a[i] = x;
                return;
            }
        }
}
long long sum()
{
    long long ans = 0;
    for (int i = N + 1; i >= 0; i--)
    {
        if (ans & (1ll << i)) continue;
        else ans ^= a[i];
    }
    return ans;
}