边学边写——母函数及其在中学数学竞赛中的运用（一）
母函数专题（一）概念部分
在2020年的CMO试题中出现了母函数的运用，先前数学竞赛中关于此方向的文章并不多，故笔者在此发表自己学习时的感想
基础概念
对于实数序列$ a_{0},a_{1},\dots ,a_{n},\dots $,他的生成函数为
\[G(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \dots + a_{n}x^{n} +\dots = \sum_{k=0}^{\infty}{a_{k}x^{k}}
\]
比如
\[\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^{1}{x^k}
\]
（因为通过分析学可以得到在\(0<x<1\)上有上式成立，具体请参考数学分析类材料）
比较重要的有
\[\frac{1}{1-ax}=\sum_{k=0}^{\infty}{a^k x^k}
\]
\[\frac{1}{1-x^r}=\sum_{k=0}^{\infty}{x^{rk}}
\]
\[\frac{1}{(1-x)^n}=\sum_{k=0}^{\infty}{C^{k}_{n+k-1}x^k}
\]
\[\frac{1}{(1+x)^n}=\sum_{k=0}^{\infty}{C^{k}_{n+k-1}(-1)^kx^k}
\]
\[\frac{1}{(1-ax)^n}=\sum_{k=0}^{\infty}{C^{k}_{n+k-1}a^kx^k}
\]
\[e^x=\sum^{\infty}_{k=0}{\frac{x^k}{k!}}
\]
但是第一眼看到生成函数可能觉得这玩意没有啥用（笔者也是这么觉得的）
下面举例来说明生成函数最基本的用法
基础实例演示
计数原理
例\(1\):求\(e_1+e_2+e_3=17\)的解的个数，其中\(2\leq e_1 \leq 5, 3\leq e_2 \leq 6, 4\leq e_3 \leq 7\)
解 具有上述限制的解的个数是
\[(x_2+x_3+x_4+x_5)(x_3+x_4+x_5+x_6)(x_4+x_5+x_6+x_7)
\]
的展开式中\(x_1^7\)的系数（聪明的读者应该已经发现了重点）
原式实则是\(e_k\)是否能够取到某数的生成函数表达（取不到的项即为0）
通过这种方法，在展开之时便完成了计数的任务（计算量和正常计数差别不大，但是可以轻松的让电脑完成计算）（OIer狂喜）
根据递推关系求解数列通项公式
例\(2\):已知数列\(\{a_n\}\)满足递推关系：\(a_k=3a_{k-1},k=1,2,\dots\)，且满足初始条件\(a_0=2\),求解\(\{a_n\}\)通项公式.
解：不妨设\(\{a_n\}\)的生成函数为
\[G(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{a_{k}x^{k}}
\]
那么容易知晓
\[xG(x)=\sum_{k=0}^{\infty}{a_{k}x^{k+1}}=\sum_{k=1}^{\infty}{a_{k-1}x^{k}}
\]
使用递推关系得知
\[\begin{aligned}
G(x)-3xG(x)&=\sum_{k=0}^{\infty}{a_{k}x^{k}}-\sum_{k=1}^{\infty}{a_{k-1}x^{k}}\\
&= a_0 + \sum_{k=1}^{\infty}{(a_k-3a_{k-1})x^k}\\
&=2
\end{aligned}\]
所以
\[(1-3x)G(x)=2
\]
求解\(G(x)\),得到\(G(x)=\frac{2}{1-3x}\)
展开即得
\[G(x)=\sum^{\infty}_{k=0}{2*3^kx^k}
\]
所以\(a_k=2*3^k\)
