Luogu 1437 [HNOI2004]敲砖块 (动态规划)

Luogu 1437 [HNOI2004]敲砖块 (动态规划)

Description

在一个凹槽中放置了 n 层砖块、最上面的一层有n块砖,从上到下每层依次减少一块砖。每块砖都有一个分值,敲掉这块砖就能得到相应的分值,如下图所示。
14 15 4 3 23
33 33 76 2
2 13 11
22 23
31
如果你想敲掉第 i 层的第j 块砖的话,若i=1,你可以直接敲掉它;若i>1,则你必须先敲掉第i-1 层的第j 和第j+1 块砖。你现在可以敲掉最多 m 块砖,求得分最多能有多少。

Input

输入文件的第一行为两个正整数 n 和m;接下来n 行,描述这n层砖块上的分值a[i][j],满足0≤a[i][j]≤100。对于 100%的数据,满足1≤n≤50,1≤m≤n*(n+1)/2;

Output

输出文件仅一行为一个正整数,表示被敲掉砖块的最大价值总和。

Sample Input

4 5
2 2 3 4
8 2 7
2 3
49

Sample Output

19

Http

Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=1437

Source

动态规划

解决思路

这是一道非常难想到的动态规划问题。
首先我们把矩阵左对齐,但发现如果我们直接在这个上面对行进行转移,我们发现是不满足转移的有序性的,因为第i行第j列是否可以敲掉取决于上面一个倒三角是否被敲掉,比如说这个图

 1  2  3  4  5
 6  7  8  9
10 11 12
13 14
15

如果我们要敲掉7,则1,2都要敲掉。如果我们要敲掉12,则1,2,3,7,8都要敲掉。这给转移带来了麻烦。
如何解决呢?我们发现如果第i行第j列被敲掉了,那么要求对于\(\forall k \in [1,i-1]\),[k][j]一定被打掉了。
于是我们就想到话说这怎么想到的?把矩阵翻折过来。上面的矩阵就变成了这个样子

1
2 6 
3 7 10
4 8 11 13
5 9 12 14 15

简单点来说,就是把矩阵沿主对角线翻折,再向下对齐
这个翻转用程序表示就是:

for (int j=1;j<=n;j++)
        for(int i=j;i<=n;i++)
            Mat_new[i][j]=read();//read就是按照原矩阵的顺序从上至下从左至右读入

那么我们就可以知道,如果要选择[i][j],那么[i][1~(j-1)]是一定要选的,并且我们还发现,原来的选一个数需要选择的上三角变成了更好处理的下三角。举个例子,比如说12
在原来的图中

 1   2   [3] [4] [5]
 6   7   [8] [9]
10  11  [12]
13 14
15

把图翻折后

 1
 2   6 
[3]  7   10
[4] [8]  11  13
[5] [9] [12] 14 15

所以,我们设F[i][j][k]表示在新图中的第i行取前j个总共取了k个的最大的,那么我们只要枚举上一行是由那个转移过来的。
可以注意到,因为我们当前是在第j列,那么我们在上一行的枚举就至少得从j-1列开始。比如上面这个12的例子,那么就至少得从数字8(第2列)开始枚举,枚举到数字13(第4列)
所以我们就可以的得到动态转移方程(Arr就是我们翻转后的矩阵)
\[F[i][j][k]=max(F[i][j][k],F[i-1][p][k-j]+\sum_{l=1}^{l<=j}Arr[i][j])\{p \in [1,j-1]\}\]
我们发现这个算法还有改进的余地,就是利用前缀和来优化\(\sum_{l=1}^{l<=j}Arr[i][j]\)的求解。
\(Sum[i][j]=\sum_{k=1}^{k<=i}Arr[i][k]\),那么有
\[Sum[i][j]=Sum[i][j-1]+Arr[i][j]\]
所以最终的转移方程就是
\[F[i][j][k]=max(F[i][j][k],F[i-1][p][k-j]+Sum[i][j])\]

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define ll long long
#define mem(Arr,x) memset(Arr,x,sizeof(Arr))

const int maxN=60;
const int maxM=4000;
const int inf=2147483647;

int n,m;
int Arr[maxN][maxN];
int Sum[maxN][maxN];
int F[maxN][maxN][maxM];

int read();
void outp();

int main()
{
    n=read();
    m=read();
    for (int j=1;j<=n;j++)//输入,同时转置矩阵
        for(int i=j;i<=n;i++)
            Arr[i][j]=read();
    for (int i=1;i<=n;i++)//计算前缀和
        for (int j=1;j<=i;j++)
            Sum[i][j]=Sum[i][j-1]+Arr[i][j];
    mem(F,-1);//置为-1,标记为不行
    for (int i=1;i<=n;i++)//动态转移初始值
    {
        F[i][0][0]=0;
        F[i][1][1]=Arr[1][i];
    }
    int Ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=0;j<=i;j++)
            for (int k=0;k<=m;k++)
            {
                if (j<=k)//只用j<k的时候才能推
                    for (int p=max(j-1,0);p<=i-1;p++)//注意这里的取max,因为j为0的时候j-1是负数
                        if (F[i-1][p][k-j]!=-1)
                            F[i][j][k]=max(F[i][j][k],F[i-1][p][k-j]+Sum[i][j]);
                Ans=max(Ans,F[i][j][k]);//取最大值
            }
    printf("%d\n",Ans);
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}

int read()
{
    int x=0;
    int k=1;
    char ch=getchar();
    while (((ch>'9')||(ch<'0'))&&(ch!='-'))
        ch=getchar();
    if (ch=='-')
    {
        k=-1;
        ch=getchar();
    }
    while ((ch>='0')&&(ch<='9'))
    {
        x=x*10+ch-48;
        ch=getchar();
    }
    return x*k;
}
posted @ 2017-08-27 17:32 SYCstudio 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏