Luogu 1941 【NOIP2014】飞扬的小鸟 (动态规划)

Luogu 1941 【NOIP2014】飞扬的小鸟 (动态规划)

Description

Flappy Bird 是一款风靡一时的休闲手机游戏。玩家需要不断控制点击手机屏幕的频率来调节小鸟的飞行高度,让小鸟顺利通过画面右方的管道缝隙。如果小鸟一不小心撞到了水管或者掉在地上的话,便宣告失败。
为了简化问题,我们对游戏规则进行了简化和改编:

  • 游戏界面是一个长为n ,高为 m 的二维平面,其中有k 个管道(忽略管道的宽度)。
  • 小鸟始终在游戏界面内移动。小鸟从游戏界面最左边任意整数高度位置出发,到达游戏界面最右边时,游戏完成。
  • 小鸟每个单位时间沿横坐标方向右移的距离为1,竖直移动的距离由玩家控制。如果点击屏幕,小鸟就会上升一定高度X ,每个单位时间可以点击多次,效果叠加;
  • 如果不点击屏幕,小鸟就会下降一定高度Y 。小鸟位于横坐标方向不同位置时,上升的高度X 和下降的高度Y 可能互不相同。
  • 小鸟高度等于0 或者小鸟碰到管道时,游戏失败。小鸟高度为 m 时,无法再上升。

现在,请你判断是否可以完成游戏。如果可以,输出最少点击屏幕数;否则,输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。

Input

第1 行有3 个整数n ,m ,k,分别表示游戏界面的长度,高度和水管的数量,每两个整数之间用一个空格隔开;接下来的n 行,每行2 个用一个空格隔开的整数X 和Y ,依次表示在横坐标位置0 ~n- 1上玩家点击屏幕后,小鸟在下一位置上升的高度X ,以及在这个位置上玩家不点击屏幕时,小鸟在下一位置下降的高度Y 。接下来k 行,每行3 个整数P ,L ,H ,每两个整数之间用一个空格隔开。每行表示一个管道,其中P 表示管道的横坐标,L 表示此管道缝隙的下边沿高度为L ,H 表示管道缝隙上边沿的高度(输入数据保证P 各不相同,但不保证按照大小顺序给出)。

Output

第一行,包含一个整数,如果可以成功完成游戏,则输出1 ,否则输出0 。
第二行,包含一个整数,如果第一行为1,则输出成功完成游戏需要最少点击屏幕数,否则,输出小鸟最多可以通过多少个管道缝隙。

Sample Input

10 10 6
3 9
9 9
1 2
1 3
1 2
1 1
2 1
2 1
1 6
2 2
1 2 7
5 1 5
6 3 5
7 5 8
8 7 9
9 1 3

Sample Output

1
6

Http

Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=1941

Source

动态规划

解决思路

这道题目讲起来并不算太难,即完全背包+01背包。但细节不好调。
设F[i][j]表示在第i列高度为j的时候的最小点击数,令X[i]表示在第i列点击一次向上飞的距离,令Y[i]表示在第i列不点击是下降的距离。首先动态转移方程,因为鸟向上飞是可以点击多次的,为了防止出现在同一列即向上又向下的情况,所以先做完全背包。
\(F[i][j]=min(F[i-1][j-X[i-1],F[i][j-X[i-1])\{j \in [X[i-1]+1,m]\}\)
然后再做01背包
\(F[i][j]=min(F[i][j],F[i-1][j+Y[i-1])\{j \in [1,m-Y[i-1]] \}\)
另外还有特判高度为m的情况,也就是对于\(j\in [m-Y[i-1],m]\)
\(F[i][m]=min(F[i][m],F[i][j]+1,F[i-1][j]+1)\)
大致的思路就是这样,下面讲一讲本题一些细节。

  • 鸟是不能飞到高度为0的地方的,所以转移也不能从0转移过来,所以在考虑向上飞的情况时,j应该从X[i-1]+1开始,注意一定要+1
  • 注意管道,如果题目中给出的下管道高度是L,上管道高度是R,则实际可以经过的范围应该是[L+1,R-1],也就是说,如果有管道,不管上面的管道长度是多少,高度为m的地方都是不能走的
  • 做向上飞的情况的时候要注意,虽然说理论上讲实际能飞的距离是[L+1,R-1],但我们依然要从X[i-1]+1开始循环到最大,就算X[i-1]+1这个高度实际上是管道。为什么呢?这是由完全背包的性质决定的。比如说当前第i列下管道的高度是10,上一次点一次能飞的高度是3,那么如果我们从10+1=11开始循环,就只能从F[i-1][11-3]转移过来,而实际上可能F[i-1][2]点3次后的解更优。(自己手动模拟一下完全背包的运作过程,然后你就能发现这个问题)。最后执行完后我们再把是管道的地方的F置为不可解。
  • 如果某一次的所有F都为不可解,那么说明无解,此时输出鸟飞过的管道个数

(更多细节请参考代码,已经在代码中标记出来啦)

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxN=20011;
const int maxM=2011;
const int inf=147483647;//注意这里inf去掉了前面的2,这里是为了方便做加法时不会出现负数

int n,m,K;
int X[maxN];//X[i]表示第i列点一次能飞的高度
int Y[maxN];//Y[i]表示第i列如果不点降低的高度
bool is_pipe[maxN];//is_pipe[i]表示第i列是否有管道,1为有,0为没有,方便统计飞过的管道数
int Pipe_up[maxN];//Pipe_up[i]表示第i列上管道的高度,如果没有,置为m+1
int Pipe_down[maxN];//Pipe_down[i]表示第i列下管道的高度,如果没有,置为0
int F[2][maxM];//滚动动归

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
    memset(Pipe_up,0,sizeof(Pipe_up));
    memset(Pipe_down,0,sizeof(Pipe_down));
    memset(is_pipe,0,sizeof(is_pipe));
    for (int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d%d",&X[i],&Y[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++)//将管道的信息初始化
    {
        Pipe_down[i]=0;
        Pipe_up[i]=m+1;
    }
    for (int i=1;i<=K;i++)//读入管道
    {
        int pipe_pos,l,r;
        scanf("%d%d%d",&pipe_pos,&l,&r);
        Pipe_down[pipe_pos]=l;
        Pipe_up[pipe_pos]=r;
        is_pipe[pipe_pos]=1;
    }
    for (int i=1;i<=m;i++)//第0列初始化
        F[0][i]=0;
    int cnt=0;
    int Ans;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int now=i&1;
        Ans=inf;//这个Ans有两个用处,一是在最后一次统计答案,二是用来判断本次运算完后是否出现无解的情况
        for (int j=0;j<=m;j++)//每一次先置为无穷大
            F[now][j]=inf;
        //cout<<Pipe_down[i]<<" "<<Pipe_up[i]<<endl;
        
        for (int j=X[i-1]+1;j<=m;j++)//先向上飞,注意循环初值
        {
            F[now][j]=min(F[!now][j-X[i-1]],F[now][j-X[i-1]])+1;
            //cout<<F[!now][j-X[i-1]]<<endl;
        }

        for (int j=m-X[i-1];j<=m;j++)//特判m的情况
        {
            F[now][m]=min(F[now][m],F[now][j]+1);
            F[now][m]=min(F[now][m],F[!now][j]+1);
        }

        for (int j=m-Y[i-1];j>=1;j--)//向下飞
            F[now][j]=min(F[now][j],F[!now][j+Y[i-1]]);

        cnt+=(int)(is_pipe[i]);//统计管道数

        for (int j=1;j<=m;j++)//统计当前最优解,如果是最后一列则是答案
        {
            if ((j<=Pipe_down[i])||(j>=Pipe_up[i]))
                F[now][j]=inf;
            Ans=min(Ans,F[now][j]);
        }
        if (Ans==inf)//如果Ans没有被更新,则说明此时无解,输出管道数。注意,因为无解的情况一定会出现在管道处,所以cnt-1
        {
            printf("0\n%d\n",cnt-1);
            return 0;
        }
        /*
        for (int j=1;j<=m;j++)
            if (F[now][j]!=inf)
                cout<<F[now][j]<<" ";
            else
                cout<<"i ";
        cout<<endl;
        //*/
    }
    printf("1\n%d\n",Ans);//如果有解,答案就在Ans里
    return 0;
}
posted @ 2017-08-25 21:30 SYCstudio 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏