Luogu 2764 最小路径覆盖问题 / Libre 6002 「网络流 24 题」最小路径覆盖 (网络流,最大流)

Luogu 2764 最小路径覆盖问题 / Libre 6002 「网络流 24 题」最小路径覆盖 (网络流,最大流)

Description

给定有向图G=(V,E)。设P是G的一个简单路(顶点不相交)的集合。如果V中每个顶点恰好在P的一条路上,则称P是G的一个路径覆盖。P中路径可以从V的任何一个顶点开始,长度也是任意的,特别地,可以为0。G的最小路径覆盖是G的所含路径条数最少的路径覆盖。
设计一个有效算法求一个有向无环图G的最小路径覆盖。

Input

第1行有2个正整数n和m。n是给定有向无环图G的顶点数,m是G的边数。
接下来的m行,每行有2个正整数i 和j,表示一条有向边(i,j)。

Output

第1行开始,每行输出一条(字典序)路径。最后一行是最少路径数。

Sample Input

11 12 1 2 1 3 1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
7 10
8 11
9 11
10 11

Sample Output

1 4 7 10 11
2 5 8
3 6 9
3

Http

Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=2764
Libre:https://loj.ac/problem/6002

Source

网络流,最大流

解决思路

这题是sdoi2010星际竞速的弱化版,去掉了费用的限制。
对于每一个点u,我们把它拆成两个点u和u+n,分别作为入点和出点。在源点与所有入点之间连一条容量为1的边,在所有的出点与汇点之间也连一条容量为1的边。再对于每一条有向边u->v,我们连接u的入点和v的出点,容量为1.
这样建图的目的是保证任何一个点只进去一次,出来一次,并且每个点至少都要走一次。
至于如何找出路径呢?
假设我们现在选择第u个点出发,则寻找与其相连的所有边中满足相连的点v为出点且残量为0,因为我们保证了一个点只走一次,所以这个点一定是唯一的。然后再以v为出发点寻找,直到找不到为止。需要注意的是,为了防止重复计算,上面我们经过的所有点都要标记一下,后面就不再经过了。
另:这里使用Dinic实现最大流,关于Dinic算法,请移步我的这篇文章

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxN=500;
const int maxM=60000;
const int inf=2147483647;

class Edge
{
public:
    int v,flow;
};

int n,m;
int cnt=-1;
int Head[maxN];
int Next[maxM];
Edge E[maxM];
int depth[maxN];
int Q[maxM];
int cur[maxN];
bool vis[maxN];

void Add_Edge(int u,int v,int flow);
bool bfs();
int dfs(int u,int flow);

int main()
{
    memset(Head,-1,sizeof(Head));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        Add_Edge(0,i,1);//连接源点与入点
        Add_Edge(i+n,2*n+1,1);//连接出点与汇点
    }
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u,v;
        scanf("%d%d",&u,&v);
        Add_Edge(u,v+n,1);//连接u的入点与v的出点
    }
    while (bfs())
    {
        for (int i=0;i<=n*2+1;i++)//当前弧优化
            cur[i]=Head[i];
        while (int di=dfs(0,inf));
    }
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    int Ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)//统计路径
    {
        if (vis[i]==1)
            continue;
        int now=i;
        bool get;
        do
        {
            cout<<now<<" ";
            vis[now]=1;
            get=0;
            for (int i=Head[now];i!=-1;i=Next[i])
                if ((E[i].flow==0)&&(E[i].v>n)&&(E[i].v<=2*n))
                {
                    now=E[i].v-n;
                    get=1;
                    break;
                }
        }
        while (get==1);
        cout<<endl;
        Ans++;
    }
    cout<<Ans<<endl;//输出路径条数
    return 0;
}

void Add_Edge(int u,int v,int flow)//加边
{
    cnt++;
    Next[cnt]=Head[u];
    Head[u]=cnt;
    E[cnt].v=v;
    E[cnt].flow=flow;

    cnt++;
    Next[cnt]=Head[v];
    Head[v]=cnt;
    E[cnt].v=u;
    E[cnt].flow=0;
}

bool bfs()//bfs求层次图
{
    memset(depth,-1,sizeof(depth));
    int t=0,h=1;
    Q[1]=0;
    depth[0]=1;
    do
    {
        t++;
        int u=Q[t];
        for (int i=Head[u];i!=-1;i=Next[i])
        {
            int v=E[i].v;
            if ((E[i].flow>0)&&(depth[v]==-1))
            {
                depth[v]=depth[u]+1;
                h++;
                Q[h]=v;
            }
        }
    }
    while (h!=t);
    if (depth[n*2+1]==-1)//当汇点不存在层次图中时,说明增广完毕
        return 0;
    return 1;
}

int dfs(int u,int flow)//dfs增广
{
    if (u==n*2+1)
        return flow;
    for (int &i=cur[u];i!=-1;i=Next[i])
    {
        int v=E[i].v;
        if ((depth[v]==depth[u]+1)&&(E[i].flow>0))
        {
            int di=dfs(v,min(flow,E[i].flow));
            if (di>0)
            {
                E[i].flow-=di;
                E[i^1].flow+=di;
                return di;
            }
        }
    }
    return 0;
}
posted @ 2017-08-01 11:39 SYCstudio 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏