Luogu 1111 修复公路（最小生成树）

Luogu 1111 修复公路（最小生成树）

Description

A地区在地震过后，连接所有村庄的公路都造成了损坏而无法通车。政府派人修复这些公路。

给出A地区的村庄数N，和公路数M，公路是双向的。并告诉你每条公路的连着哪两个村庄，并告诉你什么时候能修完这条公路。问最早什么时候任意两个村庄能够通车，即最早什么时候任意两条村庄都存在至少一条修复完成的道路（可以由多条公路连成一条道路）

Input

第1行两个正整数N，M

下面M行，每行3个正整数x, y, t，告诉你这条公路连着x,y两个村庄，在时间t时能修复完成这条公路。

Output

如果全部公路修复完毕仍然存在两个村庄无法通车，则输出-1，否则输出最早什么时候任意两个村庄能够通车。

Sample Input

4 4
1 2 6
1 3 4
1 4 5
4 2 3

Sample Output

5

Http

Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=1111

Source

最小生成树 并查集

题目大意

求图中满足所有点联通的边的集合中最大值最下（说得简单点，就是求一个图的最小生成树并输出树上的最大边）

解决思路

首先用克鲁斯卡尔算法求出最小生成树，具体做法是：

1. 将所有的边按照边权值从小到大排序
2. 从第一条边开始枚举，每次判断这条边的两端点，若都已经在一个连通块里了，跳过，若不在，连接这条边并合并这两个连通块
3. 持续上述操作，直到连接了n-1条边（为什么是n-1条呢？因为一棵树的边就是n-1条啊）或是所有的边都扫描过了（此时代表无解，原图不连通）

那么现在的问题就是如何判断两个点已经在同一连通块中了呢？

没错！我们用并查集来判断连通块。

定义一个F[i]（代码中用Mayuri[i]）来表示i所属的并查集编号。开始时每一个点都是一个孤立的连通块，所以每一个F[i]=i。在合并两个点u,v时，只要将u,v所在的并查集合并就可以将两个连通块合并了，具体操作就是将F[u]置为F[v]，但这样是有问题的，因为u所在的并查集编号并不一定是F[u]，所以要一直向上搜寻，我们用一个Find()函数来表示，递归地找到最早的编号。

但是这样有可能出现树退化成链表的情况，所以在Find函数查找时，顺便压缩路径（具体请看代码）

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

class Road
{
public:
    int u,v,w;
};

bool operator < (Road a,Road b)//因为要排序，所以重载一下小于运算符
{
    return a.w<b.w;
}

const int maxN=2000;
const int maxM=101000;
const int inf=2147483647;

int n,m;
int Mayuri[maxN];
Road E[maxM];

int Find(int x);

int main()
{
    int Ans=0;
    int cnt=0;
    cin>>n>>m;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>E[i].u>>E[i].v>>E[i].w;
    }
    sort(&E[1],&E[m+1]);
    for (int i=1;i<=n;i++)//并查集初始化
        Mayuri[i]=i;
    int i=0;
    do
    {
        i++;
        int fu=Find(E[i].u);
        int fv=Find(E[i].v);
        if (fu!=fv)//如果u,v不在同一个连通块，就合并
        {
            cnt++;//统计选择了的边的个数，便于及时退出和判断是否有解
            Ans=max(E[i].w,Ans);//更新答案
            Mayuri[fu]=fv;
        }
        if (cnt==n-1)//当已经形成一个树时，及时退出循环
            break;
    }
    while (i<m);
    if (cnt==n-1)
        cout<<Ans<<endl;
    else
        cout<<-1<<endl;
    return 0;
}

int Find(int x)
{
    if (Mayuri[x]!=x)
        Mayuri[x]=Find(Mayuri[x]);//压缩路径，让每一个点都直接指向其并查集编号的那个点
    return Mayuri[x];
}