并查集

并查集是一类十分常用的数据类型，它有着十分广泛的应用。在信息竞赛中，它主要执行的操作一般有三种。
（1） 合并a,b两个元素所在的集合 Merge(a,b)
（2）查找某个元素属于哪个集合 find(k)
（3）查询两个元素是否属于同一集合 Query(a,b)

函数模板
（1）find

int find(int x){    
if(fa[x]==x) return x; //找到即返回
int t=find(fa[x]);    //继续递归find
return t;
} 

 

（2）Merge

void merge(int x,int y){
x=find(x);
y=find(y);
if(x==y) return; //根相同，无需合并，即返回
fa[x]=y; //根不同，即合并
}

 

对于find和merge的优化
（1）
对于merge：启发式合并（使用次数少，代码略过）
在合并集合S1、S2的时候，我们让较小的树成为较大的树的子树。这里可以是深度、节点个数等启发函数来比较树的大小（一般使用深度）。

（2）
对于find：路径压缩（常用，效率高，代码简单）
我们在查找完u至根节点的路径之后，一般将这条路径上的所有节点的父节点都设为根节点，这样可以大大减少之后的查找次数。

int find(int x){
if(fa[x]==x) return x;
int t=find(fa[x]);
fa[x]=t; //记录路径上的节点成为父节点，减少查询次数
return t;
}

时间复杂度分析：
可以证明，经过启发式合并和路径压缩之后的并查集，执行m次查找的复杂度为O(mα(m))
注α(m)：Ackermann函数的某个反函数，可以近似的认为它是小于5的。所以并查集的单次查找操作的时间复杂度也几乎是常数级的。

例题:
程序自动分析
题目描述：
在实现程序自动分析的过程中,常常需要判定一些约束条件是否能被同时满足。
考虑一个约束满足问题的简化版本：假设x1,x2,x3,…代表程序中出现的变量，给定n个形如xi=xj或xi≠xj的变量相等/不等的约束条件，请判定是否可以分别为每一个变量赋予恰当的值，使得上述所有约束条件同时被满足。例如，一个问题中的约束条件为：x1=x2，x2=x3，x3=x4，x1≠x4，这些约束条件显然是不可能同时被满足的，因此这个问题应判定为不可被满足。
现在给出一些约束满足问题，请分别对它们进行判定。
注：1≤n≤1000000
样例：

看输入的是1，我们把它加到一个并查集里去，是0，我们暂且不管。操作好以后，我们特判是0，但树根相同的这种情况，显然是不成立的。标记下来，一个个输出就结束了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define N 1000010
using namespace std;
int fa[N];
int find(int x)    //寻找函数 
{
if(fa[x]==x) return x;
int t=find(fa[x]);
fa[x]=t;
return t;
//return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
void merge(int x,int y)    // 合并函数 
{
x=find(x);
y=find(y);
if(x==y) return;
fa[x]=y;
}
int m,x[N],y[N],f[N];
void doit()
{
memset(fa,0,sizeof(fa));    //记得清空 
for(int i=1;i<=1000000;i++) fa[i]=i;    //初始化 
cin>>m;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
cin>>x[i]>>y[i]>>f[i];
if(f[i]==1) merge(x[i],y[i]);    // 合并 
}
bool ans=true;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
if(f[i]==0)
{
if(find(x[i])==find(y[i])) ans=false;    //如果在一个并查集里，但不是1，那就显然不成立，进行标记 
}
}
puts(ans?"YES":"NO");
}
int main()
{
int T;
cin>>T;
while(T--) doit();
}