大步小步法(BSGS) 学习笔记

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BSGS

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用于求解关于 \(x\) 的方程：

\[a^x\equiv b\pmod p\ ,\ (p,a)=1 \]

一般求解的是模意义下的指数，也就是最小非负整数解。

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算法思想

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本质是双向搜索，或阈值优化的思想。

首先设"步幅" 为 \(m=\lceil{ \sqrt p}\rceil\) ，然后将方程写作

\[a^{i\times m-j}\equiv b\pmod p \]

其中 \(i\) 就是所谓"大步"， \(j\) 就是所谓"小步"，我们要把他们组合在一起。

直接搜索两个数不如折半搜索一个数，然后再组合。

于是我们可以将分母上的 \(a^j\) 移项，得到

\[a^{i\times m}\equiv b\times a^j\pmod p \]

然后就成了比较标准的双向搜索形式。

先把右一半的答案记下来，然后拿左一半搜到的每一个数去查询是否出现过就好了。

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代码实现

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对于每一个 \(j\in [0,m-1]\) ，将 \(b\times a^j\ \%\ p\) 的答案放到哈希表里。

然后对于每一个 \(i\in[1,m](\) 此范围依据定义而来，尤其注意！\()\)，去哈希表里查是否有 \(a^{im}\ \%\ p\) 的值。

还有两个小优化：

• 注意到求出为同一个值的 \(j\) ，因为在答案里系数为 \(-1\) ，所以对于求出最小解 \(j\) 肯定是越大越优秀。

  因此再哈希表里插入相同的值时，可以直接取 \(max\)， 如果是按序插入直接覆盖即可。

  这里也延申出了一种做法，直接用 \(map\) 存储结果，将结果映射到 \(j\) ，按序插入直接覆盖，复杂度多个\(log\) 。

• 运算过程中只需一次快速幂。

  一开始每一次都是乘上 \(a\) ，所以一遍循环一遍乘即可，第二步同理，只需题前计算出 \(a^m\) 的值。

  这一优化在需要快速乘的时候效果很好。

我们以 [TJOI2007]可爱的质数 一题为例提供一份模板。

#include<map>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define R register
using namespace std;
typedef long long ll;

map<ll,ll> s;

inline ll qpow(ll x,ll t,ll p){
  ll res=1;
  while(t){
    if(t&1) (res*=x)%=p;
    (x*=x)%=p; t>>=1;
  }
  return res;
}

inline ll BSGS(ll a,ll b,ll p){
  b%=p;
  ll m=ceil(sqrt(p));
  for(R ll i=0;i<m;++i,(b*=a)%=p) s[b]=i;
  a=qpow(a,m,p);
  for(R ll i=1,tmp=a;i<=m;++i,(tmp*=a)%=p)
    if(s.find(tmp)!=s.end()){
      if(i*m<s[tmp]) continue;
      return i*m-s[tmp];
    }
  return -1;
}

int main(){
  ll a,b,p;
  scanf("%lld%lld%lld",&p,&a,&b);
  ll x=BSGS(a,b,p);
  if(x>=0) printf("%lld\n",x);
  else puts("no solution");
  return 0;
}