[ Code Plus #4 ] 最短路

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\(Description\)

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一张点的编号为\(1\text~N\)的有向图，初始给出 \(M\) 条边，有边权。其次还存在大量的边，其形式是：

对于任意两个编号分别为 \(i,j\) 的两个点，其之前存在一条边权为 \((i\oplus j)\times C\) 的边。

求 \(A\) 号点到 \(B\) 号点的最短路长度。

• \(N\le10^5,M\le 5\times10^5,C\le 100\)

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\(Solution\)

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\(N^2\) 建边显然空间时间都承受不住，考虑能否优化这个过程。

假如如此构造现在有一条从 \(2\) 到 \(5\) 的边，显然这个边权是

\[(111)_2\times C \]

那么我们观察图中的边，显然存在如下几条：

\[2\rightarrow 0:w=(010)_2\times C\\ 0\rightarrow 4:w=(100)_2\times C\\ 4\rightarrow 5:w=(001)_2\times C \]

有没有发现，走这三条路的权值和其实等价于走原来那一条路？

于是有了一个简单的做法：按照二进制位分开考虑。

也就是说，我们对于每一个点，除去给出的 \(M\) 条边外，只连出去边长为 \(2\) 的整次幂的边。

为什么这样建边等价于原来的图？因为我们每次只走二进制位里的一个 \(1\) ，最后走的总路径长度不变。

然后边的级别就是 \(NlogN+M\)，存的下，跑个\(Dij\) 开个 \(O2\) 能过。

注意这个转移过程中我们经过的点的编号可能会超出\(N\)，所以我们要把 \(N\) 加大到第一个 \(\ge N\) 的 \(2\) 的幂，同时注意这些新加的点也要把对应的 \(log\) 条边建出来，否则就可能无法转移了。

\(\\\)

\(Code\)

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#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 200010
#define M 3000010
#define R register
#define gc getchar
using namespace std;
typedef long long ll;

int n,m,c,s,t,tot,bit,hd[N],dis[N];

bool vis[N];

struct edge{int to,nxt,w;}e[M];

inline void add(int u,int v,int w){
  e[++tot].to=v; e[tot].w=w;
  e[tot].nxt=hd[u]; hd[u]=tot;
}

inline int rd(){
  int x=0; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  return f?-x:x;
}

priority_queue<pair<int,int> > q;

inline void dij(){
  memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
  dis[s]=0; q.push(make_pair(0,s));
  R int u;
  while(!q.empty()){
    u=q.top().second; q.pop();
    if(vis[u]) continue; vis[u]=1;
    for(R int i=hd[u],v;i;i=e[i].nxt)
      if(dis[v=e[i].to]>dis[u]+e[i].w){
        dis[v]=dis[u]+e[i].w;
        q.push(make_pair(-dis[v],v));
      }
  }
  printf("%d\n",dis[t]);
}

int main(){
  n=rd(); m=rd(); c=rd();
  bit=log2(n)+1; n=(1<<bit)-1;
  for(R int i=1,u,v,w;i<=m;++i){
    u=rd(); v=rd(); w=rd(); add(u,v,w);
  }
  for(R int i=0;i<=n;++i)
    for(R int j=0;j<bit;++j) add(i,i^(1<<j),c*(1<<j));
  s=rd(); t=rd(); dij();
  return 0;
}