ODE 笔记

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目录

• Ch1 Introduction
  • 1.1 Differential Equations and Basic Concepts
    • • Def
      • Theorem (ODE 的等价形式)
      • Tool
  • 1.2 Examples of Solving Tricks
    • Integrating Factor
      • A Necessary Condition
    • Seperation of Variables
    • Change of Variable
      • Linear Change
      • Homogeneous Equation 齐次方程
• Ch2 Linear Equations
  • 2.1 Linear System with Constant Coefficients 常系数线性系统
    • 1st Order Homogeneous System 一阶齐次系统
      • Theorem（一阶齐次系统通解）
      • Exponential Matrix 指数矩阵
    • 1st Order Inhomogeneous System 一阶非齐次系统
      • Theorem（一阶非齐次系统通解）
    • n-th order homogeneous equation n 阶齐次方程
      • Def
      • Proposition（n 阶齐次方程通解）
    • n-th order inhomogeneous equation n 阶非齐次方程
  • 2.2 Long-term Behavior
    • Jordan Canonical Form
      • 复 Jordan 标准型
      • Proposition（参数矩阵的所有特征值实部为负时，方程的解在 t 很大时趋向 0）
      • 实 Jordan 标准型
    • Two-dim System 二维系统
  • 2.3 Nonautonomous Linear Equations 非自治线性方程
    • Homogeneous Case 齐次非自治线性方程
      • Def
      • Proposition（path-ordered exponential 的性质）
      • 解决 Homogeneous Case
    • General Case - Variation of Parameters
• Ch3 Nonlinear Equations
  • 3.1 Local Solutions 局部解的存在性和唯一性
    • • Def
      • Theorem（The Contraction Mapping Theorem 压缩映射不动点存在且唯一）
      • Def
      • Theorem（算子 \(T\) 在局部是压缩映射）
      • Theorem（局部解的存在性和唯一性）
      • Def
  • 3.2 Extension of solutions
    • 最大解区间
      • Proposition（如果两个区间上分别存在两个初始值问题的解，则解在区间之交上相同）
      • Theorem（最大解区间）
      • Proposition（局部条件下最大解不被紧集限制）
    • 线性增长条件下的全局存在性
      • Lemma（Gronwall 不等式）
      • Proposition（线性增长条件下解全局存在）
  • 3.3 Dependence on Initial Data
    • Continuous Dependence on Initial Value
      • Theorem（解关于初始值连续变化）
    • Continuous Dependence on Parameters
      • Theorem（解关于参数连续变化）
    • Differentiability
      • Theorem（解可微，大定理）
  • 3.4 Analyticity
    • • Def
      • Proposition（实解析的充要条件）
      • Theorem（Cauchy-Konvalevskaya, ODE version）
      • Theorem（Cauchy-Kovalevskaya, ODE version’）
• Ch4 Power Series Solutions
  • 4.1 Ordinary Point
    • • Example 4.1.1
      • Example 4.1.2（Legendre’s Equation）
      • Example 4.1.3（Airy Equation）
  • 4.2 Linear System with Regular Singularity
    • Some Examples
      • Def
      • Example 4.2.2-4.2.3
    • Solutions in General
      • Def（Gauge reansformation）
      • Lemma
      • Proposition（特征值差不是正整数时，可以找到合适的 Gauge 变换）
      • Solutions in General 通解
  • 4.3 Scalar Equation with Regular Singularity
    • Regular Singularity
      • Def
    • The Method of Frobenius
      • Example（Hypergeometric Series）
• Ch5 Boundary Value Problem
  • 5.1 Boundary Value Problem for Second Order Equations
    • • Def（边界条件）
    • Boundary Value Problem of Sturmian Type
      • Def（Sturm-Liouville Form）
      • Def（Boundary Value Problem of Sturmian Type）
      • Proposition（Lagrange Identity）
      • Proposition
    • 齐次问题
      • Theorem（非齐次可解且解唯一 \(\Leftrightarrow\) 齐次只有零解）
  • 5.2 Green’s Function for Second Order Equations
    • Green's Function
      • Def
      • Proposition（Green 函数的性质）
    • 用 Green's Function 表示的解
      • Theorem（半齐次方程的唯一解）
  • 5.3 Boundary Value Problem in General
    • • Theorem（一阶线性系统唯一可解 \(\Leftrightarrow\) 齐次系统有唯一解）
      • Def（Green's matrix）
  • 5.4 Compact Self-adjoint Operators
    • • Def
      • Def
      • Def
      • Proposition（有界自伴随算子的性质）
      • Def
      • Proposition（紧自伴随算子特征值不等式）
      • Def
      • Proposition（Bessel 不等式）
      • Theorem
  • 5.5 Sturm-Liouville Eigenvalue Problem
    • Green’s function as Compact Self-adjoint Operator
      • Proposition（\(T\) 是紧自伴随算子）
      • 解法
• Ch6 Calculus of Variations 变分法
  • 6.1 Euler-Lagrange Equation
    • Principle of Least Action 最小作用量原理
      • Def
      • Proposition（总能量守恒）
      • Def（拉格朗日量）
      • Theorem（Principle of Least Action）
    • Euler-Lagrange Equation
      • Theorem（Euler-Lagrange Equation）
  • 6.2 Brachistochrone Problem 最速降线问题
    • Brachistochrone Curve
      • 问题
      • 解答
    • Fermat's Principle 费马原理
      • Example（Snell's law）
      • 应用
  • 6.3 Isoperimetric Problem 等周问题
    • Action Principle with Constraint
      • the method of Lagrange multiplier 拉格朗日乘子法
      • Theorem（带约束的最小作用量原理）
    • Isoperimetric Problem
      • 问题
      • 解答
  • 6.4 Kepler Problem
    • Solutions of Motion
      • 问题
      • 解答
    • Kepler's Laws
      • Kepler's First Law
      • Kepler’s Second Law
      • Kepler’s Third Law

Ch1 Introduction

1.1 Differential Equations and Basic Concepts

Def

• linear, nonlinear
• order
• homogeneous, have constant coefficients

Theorem (ODE 的等价形式)

• All ODEs can be equivalently described by a system of 1st-order ODE.
  • 
    \(\Leftrightarrow\)
  • 
    \(\Leftrightarrow\)
    
    

Tool

• direction field (\(\frac{dy}{dt}=f(t,y)\), draw \((1,f)\) at \((t,y)\))
• integral curve (tangent to \((1,f)\))

1.2 Examples of Solving Tricks

Integrating Factor

• 
  \(\Rightarrow\)

A Necessary Condition

• For
  We need
• If this doesn't work, try multiply an integrating factor:
  We need

Seperation of Variables

• For \(\frac{dy}{dt}=\varphi(t,y)=f(y)g(t)\)
  \(\Rightarrow \frac{dy}{f(y)}=g(t)dt\)

Change of Variable

Linear Change

• 
  We let

Homogeneous Equation 齐次方程

• \[\frac{dy}{dt}=f(\frac{y}{t}) \]
  We let $$u(t)=\frac{y(t)}{t}$$
  \[\Rightarrow \frac{du}{dt} = -\frac{y}{t^2}+\frac{1}{t}\frac{dy}{dt} \]
  \[\Rightarrow \frac{du}{dt} = \frac{f(u)-u}{t} \]

Ch2 Linear Equations

2.1 Linear System with Constant Coefficients 常系数线性系统

1st Order Homogeneous System 一阶齐次系统

\[\frac{d}{dt}\vec y=A\vec y \]

Theorem（一阶齐次系统通解）

• 对 \(\forall\) 列向量 \(\vec y_0\in \R^n\)，方程 \(\frac{d}{dt}\vec y=A\vec y\) 有唯一解满足初始条件 \(\vec y(0)=\vec y_0\)，这个解可以显式地表示为 \(\vec y(t)=e^{tA}\vec y_0\).

Exponential Matrix 指数矩阵

• 略，见 pp. 15 - 18

1st Order Inhomogeneous System 一阶非齐次系统

\[\frac{d}{dt}\vec y=A\vec y+\vec b(t) \]

其中 \(A\) 是 \(n\) 阶常矩阵，\(\vec b(t)\) 是与 \(t\) 有关的 \(n\) 维列向量。

Theorem（一阶非齐次系统通解）

• 对 \(\forall\) 列向量 \(\vec y_0\in \R^n\)，方程 \(\frac{d}{dt}\vec y=A\vec y+\vec b(t)\) 有唯一解满足初始条件 \(\vec y(0)=\vec y_0\)，这个解可以显式地表示为 \(\vec y(t)=e^{tA}\vec y_0 + \int_0^t e^{(t-s)A}\vec b(s)ds\).

n-th order homogeneous equation n 阶齐次方程

且 \(\vec b(t)=0\)

Def

• the characteristic polynomial of the equation 方程的特征多项式
  
  \(\Leftrightarrow\)
  \(\Rightarrow\)

Proposition（n 阶齐次方程通解）

• 是方程 的 n 个线性独立的解。
• 通解可以由以上解的线性组合给出。特别地，当存在复根 \(\alpha +i\beta\) 时，有解
  可以用实方程表示：
  
• 为了确定唯一解，我们需要 n 个初始条件
  来确定线性组合的系数。

一般解法：解特征方程确定线性独立解，解初始值方程确定系数。

n-th order inhomogeneous equation n 阶非齐次方程

• 观察到：通解 = 特解 + 齐次方程通解，其中齐次方程为
• 我们只要找一个特解。可以把方程写成一阶非齐次形式
  由之前的讨论，可以知道有一个特解是
  带矩阵的积分可能很复杂，之后会有一种方法：variation of parameters。目前，可以通过猜测确定特解。

2.2 Long-term Behavior

在这节中，我们考虑当 t 变大时，方程 \(\frac{d\vec y}{dt}=A\vec y\) 的解的行为，即
的行为。先讨论如何计算 \(e^{tA}\)。

Jordan Canonical Form

复 Jordan 标准型

• 任给方阵 \(A\)，我们可以写成
  
  其中，\(N\) 幂零，\(D\) 和 \(N\) 交换。
• 考虑 \(e^{tA}\)。有：
  由于 \(D\) 是对角阵，有
  由于 \(N\) 幂零，有

Proposition（参数矩阵的所有特征值实部为负时，方程的解在 t 很大时趋向 0）

• 

实 Jordan 标准型

• 矩阵 \(A\) 可以写成

Two-dim System 二维系统

略，见 pp. 30 - 33

2.3 Nonautonomous Linear Equations 非自治线性方程

这节我们讨论
其中 \(A(t)\) 不再是常矩阵。

Homogeneous Case 齐次非自治线性方程

• 先考虑齐次情况，方程为

Def

• path-ordered exponential：

Proposition（path-ordered exponential 的性质）

• 
  

解决 Homogeneous Case

• 

General Case - Variation of Parameters

这节我们讨论
观察到：通解 = 特解 + 齐次方程通解，其中齐次方程通解由 path-ordered exponential 给出，下面介绍一种方法给出特解。

• 设已经找到齐次方程的 n 个线性独立的解
  我们希望找到一个特解 \(y(t)\)，它的形式是
  可以用 Cramer's rule 解决：
  因此，特解为

• 称以上的 \(W(t)\) 为 Wronskian determinant（Wronskian 行列式）

Ch3 Nonlinear Equations

3.1 Local Solutions 局部解的存在性和唯一性

经过有限时间 t，非线性系统的解很可能会爆炸，即使系统的系数非常好。然而，对很多非线性系统，给定初始条件，局部解是可以找到的。
在这一小节中，我们通过引入算子 \(T\) ，并利用压缩映射的性质，来完成局部解的存在性和唯一性的证明。

Def

• operator \(T\)：
  对于非线性方程
  记 operator \(T\) 为
  我们有
  即 \(y\) 是 \(T\) 的不动点.
• contraction mapping 压缩映射：
• fixed point 不动点

Theorem（The Contraction Mapping Theorem 压缩映射不动点存在且唯一）

• 

Def

• Lipschitz condition：
  • 典例：\(U\) 是凸集，\(\vec F(\vec y,t)\) 关于 \(\vec y\) 是 \(C^1\) 的，且 \(|\partial_{y^i}\vec F|≤M\)，则 \(\vec F(\vec y,t)\) 满足 Lipschitz 条件，且 \(L=M\)

Theorem（算子 \(T\) 在局部是压缩映射）

• 在初始值问题 中，假设 \(\vec F\) 在 \(U\subset \R^n×\R\) 中关于 \(y\) 满足 Lipschitz 条件，其中 \((\vec \xi,t_0)\in U\)。记
  则存在足够小的 \(\varepsilon, \delta\)，使得 \(T\) 在 \(X_{\varepsilon, \delta}\) 上是压缩映射。
• 证明思路：
  • 首先，可以找到足够小的 \(\varepsilon, \delta\)，使得
    观察到， 是一个以常函数 \(x(t)=\vec \xi\) 为中心的闭球。
  • 由 \(\vec F\) 的连续性，可以设
    由 \(T\) 的表达式，有
    缩小 \(\varepsilon\) 使得 \(K\varepsilon < \delta\)，那么 \(T\) 是一个 \(X_{\varepsilon, \delta}\rightarrow X_{\varepsilon, \delta}\) 的映射。
  • 现在计算：
    
    取 \(\varepsilon\) 使得 \(L\varepsilon < 1\)，那么 \(T\) 是 \(X_{\varepsilon, \delta}\) 上的压缩映射。

Theorem（局部解的存在性和唯一性）

• \(\vec F(\vec y,t):U\subset \R^n×\R \rightarrow \R^n\) 是连续 Lipschitz 函数，\(U\) 是开集，且点 \((\vec \xi,t_0)\) 在 \(U\) 中。对于足够小的 \(\varepsilon > 0\)，在区间 \((t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon)\) 上存在唯一的函数 \(\vec y(t)\) 满足
• Picard iteration: 解可以通过求 \(T\) 的迭代过程的极限得到，这个迭代叫做 Picard 迭代。
  
• Peano Existence Theorem：当 \(\vec F\) 连续但不 Lipschitz 时，局部解仍然存在，但不一定唯一。

Def

• locally Lipschitz：由上面的定理，我们发现 Lipschitz 条件可以弱化为局部 Lipschitz 条件。

3.2 Extension of solutions

在这一小节中，我们考虑局部解的延拓。

最大解区间

Proposition（如果两个区间上分别存在两个初始值问题的解，则解在区间之交上相同）

• \(\vec F(\vec y,t):U\subset \R^n×\R \rightarrow \R^n\) 是连续局部 Lipschitz 函数，\(U\) 是开集，且点 \((\vec \xi,t_0)\) 在 \(U\) 中。设 \(\vec y_i(t)\) 是区间 \((\alpha_i,\beta_i)\)（包含 \(t_0\)）上的函数，\(i=1,2\)，且均是方程
  的解，则 \(\vec y_1(t)=\vec y_2(t),max\{\alpha_1,\alpha_2\}<t<min\{\beta_1,\beta_2\}.\)

Theorem（最大解区间）

• \(\vec F(\vec y,t):U\subset \R^n×\R \rightarrow \R^n\) 是连续局部 Lipschitz 函数，\(U\) 是开集，且点 \((\vec \xi,t_0)\) 在 \(U\) 中，则存在 \(t_-<t_0<t_+\) 和函数 \(\vec y(t),t\in (t_-,t_+)\) 是方程
  的解，且是最大的，即：如果 \(\vec{\widetilde y}(t)\) 是另一个区间 \(I\ni x_0\) 上方程的解，则 \(I\subset (t_-,t_+)\) 且 \(\vec{\widetilde y}(t) = \vec y(t),t\in (t_-,t_+).\)

Proposition（局部条件下最大解不被紧集限制）

• \(\vec y(t)\) 是上述定义下 \((t_-,t_+)\) 上的最大解，假设 \(t_+<+\infty\)，那么对任意紧集 \(K\subset U\)，存在 \(\varepsilon >0\) 使得 \((\vec y(t),t)\notin K, t_+-\varepsilon<t<t_+\)。即，在一段时间后，最大解会跑出 \(K\) 的范围。
• 证明思路：
  • 找一个更大的紧集 \(\widetilde K\) 和 \(\delta>0,\varepsilon >0\)，使得
  • 由于 \(\widetilde K\) 是紧集，\(\vec F\) 在 \(\widetilde K\) 中满足 Lipschitz 条件，且有界。
  • 假设 ，由上一条，我们可以找到 \(\varepsilon\)，使得 \(T\) 在 \((\tau-\varepsilon,\tau+\varepsilon)\) 上是压缩映射，那么方程 在 \((\tau-\varepsilon,\tau+\varepsilon)\) 上有解，但 \(\tau+\varepsilon>t_+\)，矛盾！

线性增长条件下的全局存在性

Lemma（Gronwall 不等式）

• \(f:[a,b]\rightarrow\R\) 连续且满足
  其中 \(k≥0,C\) 是常数，那么
  

Proposition（线性增长条件下解全局存在）

• \(\vec F(\vec y,t):U\subset \R^n×\R \rightarrow \R^n\) 是连续局部 Lipschitz 函数，\(U\) 是开集。假设存在非负常数 \(k,C\) 使得
  那么初始值问题
  的解对任意 \(t\in (-\infty,+\infty)\) 存在。另外，
• 证明思路：反证法，如果 \(t_+<+\infty\)，则运用 Gronwall 不等式和上面的命题，解落在紧集里，矛盾！

3.3 Dependence on Initial Data

一个数学问题如果是适定问题（well-posed problem），那它需要满足三个条件：

• Existence 解存在：the problem has at least one solution.
• Uniqueness 解唯一：the problem has no more than one solution.
• Continuous dependence 解根据初始条件连续变化：the solution depends continuously on the data given.

现在我们已经研究了初始值问题的解的存在性和唯一性，在这节我们会研究解的连续变化性。

Continuous Dependence on Initial Value

Theorem（解关于初始值连续变化）

• \(\vec F(\vec y,t):U\subset \R^n×\R \rightarrow \R^n\) 是连续局部 Lipschitz 函数，\(U\) 是开集。设 \((\vec \xi_0,t_0)\in U\)，\(\vec y_0(t)\) 是初始值问题 $$\frac{d\vec y_0}{dt}=\vec F(\vec y_0,t), \vec y_0(t_0) = \vec \xi_0$$ 的解，那么
  • 对于任意的 \(\alpha<t_1<t_0<t_2<\beta\)，存在 \(\vec \xi_0\) 的邻域 \(V\subset \R^n\) 使得初始值问题 $$\frac{d\vec y}{dt}=\vec F(\vec y,t), \vec y(t_0) = \vec \xi$$ 对任意 \(\vec \xi\in V\) 在 \((t_1,t_2)\) 上有解。
  • 若把初始值问题 \(\vec y(t_0) = \vec \xi,\vec \xi \in V\) 的解记为 \(\vec y(t,\vec \xi)\)，那么存在非负常数 \(L,M\)，使得对任意 \(\vec \xi,\vec \xi' \in V\) 和 \(t,t' \in (t_1,t_2)\)，有
    特别地，\(\vec y(t,\vec \xi)\) 在 \((t_1,t_2)×V\) 里 Lipchitz 连续。
• 证明思路：
  • 取紧集 \(K\)：
    
    由于 \(\vec F\) 局部 Lipschitz，它在 \(K\) 中关于 \(\vec yx\) Lipschitz，设 Lipschitz 数为 \(L\)。
  • 取开球
    先考虑 \(\vec \xi\) 变化的情况。设 \([t_0,t_+)\) 是 \(\vec y(t_0)=\vec \xi\) 的最大解区间，令 \(g(t)=|\vec y(t) - \vec y_0(t)|, t_0 ≤ t < min(t_+,t_2)\)，由积分方程、Lipschitz 条件和 Gronwall 引理，有
    由 \(V\) 的取法，有 \(g(t)≤\delta\)，因此解在紧集中，推出 \(t_+≥t_2\)（如果 \(t_+\) 有限，一段时间内解一定会跑出去，但是这里没有跑出去，说明 \(t_2\) 小；如果 \(t_+=+\infty\)，即得），因此解 \(\vec y(t)\) 在 \([t_0,t_2)\) 上存在，且
  • 积分：

Continuous Dependence on Parameters

\(\vec F\) 可能和参数 \(\vec \lambda\) 有关，可以表示为 \(\vec F(\vec y,t,\vec\lambda)\) 的形式，那么初始值问题

的解会与 \(\vec \xi\) 和 \(\lambda\) 同时相关。解这个问题可以转化为：解

Theorem（解关于参数连续变化）

• 

Differentiability

在这一节，我们如果 \(\vec F\) 是 \(C^1\) 的，那么解关于初始值可导。我们先定性地分析解的形式。
设初始值问题
的解为 \(\vec y(t,\vec \xi)\)，在 \(\vec \xi=\vec \xi_0\) 处的 \(\vec \xi_1\) 方向导数为：
考虑 的解 \(\vec y_0(t)=\vec y(t,\vec \xi_0)\)，令 则

因此，\(\vec y_1(t)\) 是方程

的解，其中

Theorem（解可微，大定理）

• 假设 \(\vec F(\vec y,t)\) 在 \(U\subset \R^n×\R\) 上是 \(C^1\) 的，\(\vec y_0(t)\) 是初始值方程 在区间 \((\alpha,\beta)\ni t_0\) 上的解。
  对于足够小的 \(\varepsilon\)，设 \(\vec y_1(t)\) 是方程
  
  的解，这里
  
  那么，当 \(t\in(t_1,t_2)\) 时，
  

3.4 Analyticity

Def

• real analytic

Proposition（实解析的充要条件）

• 

Theorem（Cauchy-Konvalevskaya, ODE version）

• 假设 \(f\) 在 \(y_0\) 的邻域 \(U\) 上实解析。\(y(t)\) 是初始值问题 在区间 \((-\varepsilon,\varepsilon)\) 上的唯一解（\(\varepsilon\) 足够小），则 \(y(t)\) 在 \((-\varepsilon,\varepsilon)\) 上实解析。
• 证明思路：
  • 不妨设 \(y_0=0\)。利用方程不断微分，我每次进行 \(\frac{dy}{dt}=f(y)\) 的换元，我们可以得到存在一个独立于 \(f\) 的非负系数多项式 \(P_n\)，使得
  • 我们想找函数 \(g\)，满足：
    • \(g\) 的各项导数非负且
    • 存在 \(u(t)\) 满足 ，且 \(u(t)\) 在 0 附近解析。
  • 如果找到了 \(u,g\)，有：
    由于 \(u(t)\) 在 0 附近解析，则幂级数 有正的收敛半径，因此 也有正的收敛半径且在 0 附近解析。
  • 下证在 0 附近，\(T(t)=y(t)\)。只要证明 \(T\) 也是初始值问题的解，由解的唯一性即得。设 因此
    得证。因此 \(y(t)=T(t)\)，在 0 附近解析。
  • 只要找 majorant function \(g\) 且证明 \(u(t)\) 在 0 附近解析。由前面的实解析充要条件，只需要选择 即可，\(u(t)\) 可以直接计算得到。

Theorem（Cauchy-Kovalevskaya, ODE version’）

• 假设 \(f\) 在 \(y_0\) 的邻域 \(U\) 上解析。\(y(t)\) 是初始值问题 在区间 \((-\varepsilon,\varepsilon)\) 上的唯一解（\(\varepsilon\) 足够小），则 \(y(t)\) 在 \((-\varepsilon,\varepsilon)\) 上解析。（实解析 to 解析）

Ch4 Power Series Solutions

终于熬过初值问题了……我给老师磕头了

• 在这一章中，我们研究一种线性 ODE
  
  它的系数在某些定义域上解析。我们可以把上述方程改写为
  
  并定义：
  • \(t_0\) 是方程的 ordinary point，如果所有的系数在 \(t=t_0\) 附近解析；
  • 否则，称 \(t_0\) 是方程的 singular point。
• 相似的，我们研究一种线性系统
  
  ordinary point 和 singular point 的定义同上。
• 显然，\(t_0\) 是一个线性 ODE 的 ordinary point 当且仅当它是相关的一阶线性系统的 ordinary point。

4.1 Ordinary Point

我们从三个例子来看 Ordinary Point 方程怎么解：

Example 4.1.1

• 考虑初始值问题
  这里 \(p\) 是任意常数。
• 解决思路：
  • 方程的系数解析，\(t=0\) 是一个 ordinary point。
  • 在 \(t=0\) 附近，设
    代入，比较系数，解得
    

Example 4.1.2（Legendre’s Equation）

• 考虑初始值问题
  这里 \(p\) 是任意常数。
• 解决思路：
  • 把方程写为
    很明显，系数在 \(t=0\) 附近解析，因此原点是 ordinary point。
  • 在 \(t=0\) 附近，设
    代入，比较系数，解得
    
• 讨论：
  • 当 \(p\) 不是整数时，每个括号里的数列有收敛半径 \(R=1\)，这个可以由 ratio test 得到。这个函数被称为 Legendre function，它不是初等函数。
  • 当 \(p\) 是整数时，其中的一个括号中的序列会中止，因此是一个多项式。满足 Legendre 方程的 \(n\) 阶多项式被称为 Legendre polynomial，它被显式地表示为

Example 4.1.3（Airy Equation）

• 考虑方程
• 解决思路：
  原点是一个 ordinary point，设 \(y(t)\) 为幂级数，代入反解，得
  
• 讨论：
  • 这个方程叫做 Airy function。
  • 方程的一个重要表达式是
    后续讨论略。

4.2 Linear System with Regular Singularity

我们研究线性系统：

在这节中，我们考虑 \(A(t)\) 有singularities 的情况。

Some Examples

Def

• regular singular point / a singularity of the first kind：对于线性系统 ，有 且 \(B(t)\) 在 \(t=t_0\) 附近解析。
  • 不失一般性，我们可以假定 \(t_0=0\)，那我们可以把 \(A(t)\) 写成如下形式：

Example 4.2.2-4.2.3

• 考虑
  由分离变量法，可以解得 \(y=ct^b\)，其中 \(c\) 是一个常数。
• 考虑
  若定义 \(t^B:=e^{B\ln(t)}\)，则可以解得 ，其中 \(\vec \xi\) 是一个常列向量。
  • 若 \(B\) 可对角化，且
    
    那么
    
    因此，解的形式为
    
    如果我们改变变量，定义
    那么原方程等价于
    
    进一步，等价于 n 个方程：
    
  • 如果 \(B\) 可以表示为 Jordan 块的形式：
    
    那么，可以计算
    
    这个矩阵给出了 \(\vec y(t)=e^{B\ln(t)}\vec \xi\) 的一个显式表达。可以注意到
    
    因此当特征值 \(\lambda>0\) 时，解 \(\vec y(t)\rightarrow 0,\ as\ t\rightarrow 0\)，否则它最终会爆炸。

Solutions in General

上述例子展示了这类方程的解的主要形态，一般的情况可以用我们接下来展示的方法简化到上面的情况。

Def（Gauge reansformation）

• Gauge transformation：对于元素是在 0 附近解析的函数，且行列式不等于 0 的矩阵 \(P(t)\)，取 \(\vec y(t)\rightarrow \vec y(t)=P(t)\vec z(t)\)，则原来的方程变为
  
  新的方程形式上保持一致，但是
  

Lemma

• 如果 \(U,V\in M_n(\mathbb{C})\) 没有相同的特征值，那么线性映射
  
  是同构。

Proposition（特征值差不是正整数时，可以找到合适的 Gauge 变换）

• 假设 \(A(t)\) 在原点附近解析，令 且假设 \(A_{-1}\) 没有两个特征值之间的差是正整数，那么存在 Gauge 变换 \(P(t)\)，使得
  
• 证明思路：
  • 设 \(P(t)=\Sigma_{k≥0}P_k t^k\) 是形式幂级数，我们先求系数，再证它收敛。
  • 代入原方程，需要：
    
    取 \(P_0 = I_n\)。由于 \(A_{-1}-kI_n(k>0)\) 和 \(A_{-1}\) 没有相同的特征值，由 Lemma，我们可以找到唯一的 \(P_k\)，这样就找到了 \(P(t)\)。
  • 证 \(P(t)\) 在 \(t=0\) 附近解析略。

Solutions in General 通解

下面我们来讨论一般情况下如何解决 ，其中

• 如果 \(A_{-1}\) 没有两个特征值差为正整数，由上面的 Proposition，可以找到一个 Gauge 变换 ，且 \(\vec z(t)\) 满足
  由 Example 4.2.3，有
  
  其中 \(\vec \xi\) 是常向量。
• 如果 \(A_{-1}\) 有两个特征值差为正整数，设 \(A_{-1}\) 的 Jordan 标准型为
  
  我们考虑替换变量：\(\vec y(t)=Q(t)\vec z(t)\)，其中
  
  由于 \(Q(t)^{-1}\) 在 \(t=0\) 时为奇点，因此它不是一个 Gauge 变换。但我们仍然可以得到
  
  其中
  
  且如果把 \(B(t)\) 写成幂级数的形式，那么 \(B_{-1}\) 是这个形式：
  
  可以看到特征值的差减小了1。我们可以再把 \(B_{-1}\) 变换成 Jordan 标准型，并重复以上的操作，最终可以到达前一种情况。

4.3 Scalar Equation with Regular Singularity

在这一节中，我们考虑 n 阶标量线性方程：

Regular Singularity

Def

• regular singularity：\(t=t_0\) 是 singular point 并且 \((t-t_0)^kp_k(t)\) 在 \(t=t_0\) 附近解析（对 \(p_k(t)\) 来说，极点的阶最多是 \(k\) 阶）；irregular

The Method of Frobenius

我们关注以 \(t=0\) 为 regular singularity 的二阶线性方程

• 取 indicial polynomial 指标多项式
  其中，\(p_0=lim_{n\rightarrow \infty}tp(t),q_0=lim_{n\rightarrow \infty}t^2q(t)\)
  下分两种情况讨论：
  • 如果 \(f(\lambda)\) 有两个不同的根 \(m_1,m_2\) 且 \(m_1-m_2\notin \Z\)，那我们可以找到方程的两个线性独立的 Frobenius 级数解：
    
  • 如果 \(f(\lambda)\) 有两个不同的根 \(m_1<m_2\) 且 \(m_1-m_2\) 是正整数，那么我们至少有一个 Frobenius 级数解，形式为
    
  • 如果 \(m_1=m_2\)，则我们只有一个 Frobenius 级数解。
• 把级数解代入，比较系数即可解得。

Example（Hypergeometric Series）

• 考虑下面的例子：
  
  我们可以把它写成
  
• 由上面的方法，可以有一个解
  
• 我们一般把 hypergeometric series 记为 \(F(a,b,c,t)\)，\(F(1,b,b,t)=\frac{1}{1-t}\) 生成了一般的 geometric series。
• 如果 \(1-c\) 不是整数，我们会有第二个解
  \(y=t^{1-c}z,\)
  
  因此，如果 \(c\) 不是整数，解的一般形式为
  

Ch5 Boundary Value Problem

5.1 Boundary Value Problem for Second Order Equations

我们先研究二阶线性方程

它的系数在区间 \(I=[a,b]\) 上连续且恒不等于0.

Def（边界条件）

• 三种边界条件
  • Dirichlet boundary conditions （第一类边界条件）
    
  • Neumann boundary conditions（第二类边界条件）
    
  • Robin boundary conditions（第三类边界条件）
    
• 注：和初始值问题不同，边界值问题的解有可能不存在或不唯一。

Boundary Value Problem of Sturmian Type

Def（Sturm-Liouville Form）

• Sturm-Liouville Form / self-adjoint form：我们可以把方程改写成下面的形式
  
• Sturm-Liouville operator：
  
• 证明思路：
  • 把方程两边同时乘上
  • 方程变为：
    
    其中，
    
  • 在计算中，我们还可以发现 \(p(t)\) 是连续可微的，且在 \(I\) 上为正。

Def（Boundary Value Problem of Sturmian Type）

• 接下来，我们关注边界值问题 (S)
  
  其中 \(p(t)\in C^1(I),\ p(t)>0,\ q(t),f(t)\in C^0(I)\)，且 \(\alpha_i,\beta_i,\xi_i\in \R,\ (\alpha_1,\beta_1)\neq(0,0),\ (\alpha_2,\beta_2)\neq(0,0)\)

Proposition（Lagrange Identity）

• 对任意 \(u(t),v(t)\in C^2(I)\)，有
  
  其中 \(L\) 是 Sturm-Liouville 算子。

Proposition

• 假设 \(B_iu=B_iv=0,(i=1,2)\)，那么
  

齐次问题

我们先考虑齐次问题 (H)

这样，边界值问题 (S) 的解可以表示为特解和齐次问题的通解之和。

Theorem（非齐次可解且解唯一 \(\Leftrightarrow\) 齐次只有零解）

• 非齐次边界值问题 (S) 唯一可解 \(\Leftrightarrow\) 齐次问题 (H) 只有零解。
• 证明思路：
  • 先考虑方程 \(Lu=0\)，它有两个线性独立的解，因此所有解可以表示成它们的线性组合 \(u(t)=c_1u_1(t)+c_2u_2(t),c_i\in\R\)
  • 为了满足边界条件，我们把边界条件转换为矩阵乘法形式，可以得到系数矩阵 是可逆的，同理转换为矩阵乘法形式，非齐次边界值问题有唯一解。
• 因此，非齐次边界值问题 (S) 的唯一可解性等价于
  其中，\(u_1,u_2\) 为 \(Lu=0\) 的两个线性独立的解。

5.2 Green’s Function for Second Order Equations

在上一节中，我们发现解带有边界条件 的方程

的方法很像线性代数中矩阵方程的解法。由方程 \(Ly=f\)，我们希望构造 \(L^{-1}\)，使得 \(y=L^{-1}f\)。
事实上，通过构造 Green 函数 \(G(t,s)\)，我们可以得到方程的解

Green's Function

Def

• Green's function \(G(t,s)\)：
  
  其中，
  \(u_1\) 是
  
  的解，\(u_2\) 是
  
  的解。

Proposition（Green 函数的性质）

• \(G(t,s)\) 有以下性质：
  • 它在 \((t,s)\in I×I\) 上连续。
  • \(G(t,s)=G(s,t)\).
  • 存在且在远离 \(t=s\) 处连续。
  • 在对角线 \(t=s\) 处，单侧极限
    
    存在且差为
    
  • 令
    
    分别代表在 \(t\) 和 \(s\) 处的 Sturm-Liouville 算子，那么
    

用 Green's Function 表示的解

Theorem（半齐次方程的唯一解）

• 如果齐次方程 (H) 只有零解，那么下面的半齐次边界值方程
  
  有唯一解
  
• 对于一般情况
  
  我们可以先找到
  
  的通解 \(u=c_1u_1+c_2u_2\)，那么以上方程可以变为半齐次情况
  
  因此
  

5.3 Boundary Value Problem in General

我们考虑一阶线性系统的边界值问题

其中 \(\vec y(t)\) 是 \(n\) 个未知函数构成的列向量，\(A(t)\) 是一个在 \(I\) 上随着 \(t\) 连续变化的 \(n\) 阶矩阵，\(\Gamma_1,\Gamma_2\) 是 \(n\) 阶常矩阵，\(\xi\) 是常列向量。

Theorem（一阶线性系统唯一可解 \(\Leftrightarrow\) 齐次系统有唯一解）

• 非齐次边界值问题 在区间 \(I\) 上唯一可解 \(\Leftrightarrow\) 齐次边界值问题 在 \(I\) 上只有零解。

Def（Green's matrix）

• Green's matrix：
  
• 边界值问题
  的解为
  

5.4 Compact Self-adjoint Operators

Def

• inner product space 内积空间：线性 \(\R\ or\ \C\)，装备了内积 ，满足：
  • 对称性：\((f,g)=\overline{(g,f)}\)
  • 线性：\((\alpha f+\beta g,h) = \alpha (f,h)+\beta (g,h)\)
  • 正：\((f,f)>0\ for\ f\neq 0\)
• 内积空间是一个赋范空间（normed space），向量 \(f\in H\) 的范数的定义为
  

Def

• Hilbert space：一个内积空间称为 Hilbert 空间，如果它作为赋范空间是完备的。（Banach 空间：赋范线性空间；Hilbert 空间：赋范线性内积空间）

Def

• \(H\) 是内积空间，\(T:H\rightarrow H\) 是一个线性算子。\(T\) 被称为：
  • bounded 有界，如果范数
    
    是有限的。
  • self-adjoint 自伴随：如果
    
  • compact 紧：如果对任意有界序列 \(\{f_n\}\subset H\)，序列 \(\{Tf_n\}\) 在 \(H\) 中有收敛子列。
    • 紧算子是有界的。
    • 对有界算子 \(T\)，有

Proposition（有界自伴随算子的性质）

• 如果 \(T\) 是有界自伴随算子，那么 \((Tf,f)\in \R\) 且

Def

• eigenvalue 特征值 \(\lambda\)，eigenvector 特征向量 \(f\)：\(Tf=\lambda f,f\neq 0\)

Proposition（紧自伴随算子特征值不等式）

• \(T\) 是内积空间 \(H\) 中的紧自伴随算子，那么
  
  且存在特征值使等号取到。

Def

• orthonormal sequence 正交列：\(\{\phi_n\}_{n=0}^{\infty}\) 且 \((\phi_n,\phi_m)=\delta_{nm}\)
• the Fourier series 傅里叶级数：
  • the Forier coefficients 傅里叶系数：\(c_k\)

Proposition（Bessel 不等式）

• 设 是 \(f\in H\) 的傅里叶级数，那么
  
  等号成立当且仅当

Theorem

• \(H\) 是一个无限维内积空间，\(T\) 是紧自伴随算子，那么存在可数个实特征值 \(|\lambda_0|≥|\lambda_1|≥|\lambda_2|≥...\) 且 \(\lambda_n \rightarrow 0\ as\ n\rightarrow +\infty\)
  相应的特征向量 \(\{\phi_n\}_{n=0}^{\infty}\) 是一个正交列，且 \(T\) 的像的每一个元素都可以用它的傅里叶级数表示
  
  进一步，\(T\) 的任何非零特征值等于某个上面提到的 \(\lambda_i\)。
• 证明思路：
  • 由之前的定理，可以取到特征值使得 ，取对应的特征向量，则有
    
  • 考虑 ，可以证 \(T:H_1\rightarrow H_1\)，且是紧自伴随算子，那么可以再取出特征值 \(\lambda_1\) 和特征向量 \(\phi_1\)，……一直取下去，就可以获得一个正交序列。
  • 放缩，即可得到傅里叶级数表示。
  • 如果存在非零特征值和特征向量不在之前取出的特征值里面，可以推出特征向量为零，矛盾！因此所有非零特征值都被取到过。

5.5 Sturm-Liouville Eigenvalue Problem

Sturm-Liouville 特征值问题：

\(\lambda\) 取某些值的时候，可以找到非平凡的解，我们把这些 \(\lambda\) 叫做特征值。如果解空间是 \(m\) 维的，那我们称这个特征值为 \(m\) 重的（has multiplicity \(m\)）。
我们总是假设齐次边界值问题只有平凡解，这等价于 \(\lambda=0\) 不是特征值。

Green’s function as Compact Self-adjoint Operator

• 记算子 为
  那么上述特征值边界值问题等价于
  
  相应的解是算子 \(T\) 的特征向量。
  下证 \(T\) 是一个紧自伴随算子。

Proposition（\(T\) 是紧自伴随算子）

• \(T\) 是 \(C(I)\) 上的紧自伴随算子。

解法

• 由上面的命题，可以得到一组正交序列 \(\{\phi_n\}_{n=0}^{\infty}\)，则 Green 函数
  
  可以解得
  

Ch6 Calculus of Variations 变分法

6.1 Euler-Lagrange Equation

Principle of Least Action 最小作用量原理

Def

• the Kinetic energy：\(K=\frac{1}{2}m\dot{\vec q}^2\)
• conservative force：\(\vec F(\vec q)=-\nabla V(\vec q)\) for some function \(V:\R^n\rightarrow \R\) called the potential
• the total Energy：\(E=K+V\)

Proposition（总能量守恒）

• 总能量 \(E\) 在运动过程中是守恒的。
• 证明思路：总能量对时间求导即证。

Def（拉格朗日量）

• Lagrangian：\(\mathcal L=K-V\)
• action functional：\(S[\vec q(t)]=\int^{t_1}_{t_0}\mathcal L(q_i,\dot q_i)dt\) for any path \(\vec q(t):[t_0,t_1]\rightarrow \R^n,\vec q(t)=(q_1(t),...,q_n(t))\)

Theorem（Principle of Least Action）

• 经典粒子的运动轨迹是系统的 action functional 在路径（path）空间里的极值点。
• 通常情况下（但并不总是），轨迹是最小值点。

Euler-Lagrange Equation

Theorem（Euler-Lagrange Equation）

• 假设 \(x(t):[t_0,t_1]\rightarrow \R\) 是一条光滑的路径，且是 action functional 在首、尾和 \(x(t)\) 相同的光滑路径中的极值点，那么 \(x(t)\) 满足 Euler-Lagrange Equation：$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x})=\frac{\partial \mathcal L}{\partial x}$$
• 证明思路：考虑 \(f(s):=S[x(t)+s\gamma (t)]\)，其中 \(\gamma (t)\) 是一条首尾都是 \(0\) 的路径，则 \(f(s)\) 在 \(0\) 处取极值 \(\Rightarrow f'(0)=0\)，计算并利用 \(\gamma (t)\) 的任意性即得 E-L 方程。
• n 维情况： $$\frac{d}{dt}(\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot{q_i}})=\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i},   i=1,2,...,n$$
  其中 $$\vec q(t):[t_0,t_1]\rightarrow \R^n,   \vec q(t)=(q_1(t),...,q_n(t))$$

6.2 Brachistochrone Problem 最速降线问题

Brachistochrone Curve

问题

• 在垂直平面上给定两点 \(A\) 和 \(B\)，仅在重力的作用下，使得从 \(A\) 运动到 \(B\) 的时间最短的路径是什么？

解答

• 对于任意的从 \(A\) 到 \(B\) 的路径 \(\gamma\)，我们如下参数化：
  

  • 动能 \(K=\frac{1}{2}mv^2\)
  • 重力势能 \(V(x)=-mgy(x)\)

  由能量守恒，有 \(K+V=0\Rightarrow v=\sqrt{2gy}\)

• 沿着 \(\gamma\) 降落的总时间为
  其中
  计算得

• \(T[y(x)]\) 可以被视为 \(y(x)\) 的一个 functional（泛函？），把它视为带拉氏量 的 action functional，由 E-L 方程得：
  

• 考虑 Legendre transform 勒让德变换，记 Hamiltonian 哈密顿量 \(\mathcal H = \frac{\partial \mathcal L}{\partial y'}y'-\mathcal L\)，计算得 E-L 方程等价于 \(\frac{d}{dx}\mathcal H = 0\)，推出 \(\mathcal H=C_1\) 是常数。

  • well-known statement：如果拉格朗日量对时间没有明确的依赖，那么哈密顿量在运动中是守恒的。

• 因此，原方程等价于
  
  解得

Fermat's Principle 费马原理

• 光沿时间最短的路径传播。

Example（Snell's law）

• 
• 等价表述：\(\frac{sin\theta}{v}=constant\)

应用

• 

6.3 Isoperimetric Problem 等周问题

Action Principle with Constraint

the method of Lagrange multiplier 拉格朗日乘子法

• 我们想找满足约束 \(g(x,y)=0\) 的 \(f(x,y)\) 的极值点，引入新变量（Lagrange
  multiplier） \(\lambda\)，记 \(F(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)\)，则极值点满足
  

Theorem（带约束的最小作用量原理）

• 满足约束条件 的情况下，使得 action functional 最小的路径 \(x(t)\) 满足
  
  其中 \(\mathcal L_\lambda = \mathcal L+\lambda \mathcal R\)
• 多变量情况：
  

Isoperimetric Problem

问题

• 

解答

• 带乘子的拉氏量为
• E-L 方程为
  
• 解得

6.4 Kepler Problem

Solutions of Motion

问题

• 经典开普勒问题描述了具有势能 \(V(r)=-\frac{K}{r}\) 的物体在 \(\R^3\) 空间中的运动。
  • 其中，\(\vec r=(x_1,x_2,x_3), r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}\) 分别表示位置和长度
  • \(\vec F=-\nabla V = - \frac{K}{r^2}\frac{\vec r}{r}\) 是一个与 \(r\) 成平方反比的保守力
• 下文中，我们只考虑 \(K>0\) 的情况，因此力为吸引力

解答

• 由牛顿第二定律，方程为 \(m\ddot{\vec r} = - \frac{K}{r^2}\frac{\vec r}{r}\)
• 角动量 \(\vec J=m\vec r\times \dot{\vec r}\) 守恒，且 \(\vec J \cdot \vec r = 0,\vec J \cdot \dot{\vec r} = 0\)
• Laplace-Runge-Lenz vector 拉普拉斯-龙格-楞次矢量 \(\vec A = \frac{\dot{\vec r}\times \vec J}{K}-\frac{\vec r}{r}\) 守恒
• 由 \(\vec A\cdot \vec r = Arcos\theta = \frac{J^2}{Km}-r \Rightarrow r = \frac{J^2}{Km}\frac{1}{1+Acos\theta}\)
  讨论：
  

Kepler's Laws

Kepler's First Law

• 由 \(\vec A\cdot \vec A = 1+\frac{2J^2E}{mK^2}\)，其中 \(E=\frac{1}{2}m\dot{\vec r}^2-\frac{K}{r}\) 知
  

Kepler’s Second Law

• \(\frac{dArea}{dt}=\frac{J}{2m}\) 是常量

Kepler’s Third Law

• 记 \(\tau = \frac{2m\pi ab}{J}\)，则有 \((\frac{\tau}{2\pi})^2 = \frac{ma^3}{K} = \frac{a^3}{GM}\)