BZOJ3884题解上帝与集合的正确用法--扩展欧拉定理

题目链接

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3884

分析

扩展欧拉定理裸题

• 欧拉定理及证明:

  如果\((a,m)=1\),则\(a^{\phi(m)} \equiv 1 \mod m\)

  \(Prove:\)设\(x\)取遍\(m\)的缩系,则\(ax\)取遍\(m\)的缩系,即

  \[\prod x = \prod ax \mod m \]

  因为这样的\(a\)有\(\phi(m)\)个

  \[\prod x = \prod x *a^{ \phi(m)} \mod m \]

  由于\((x,m)=1\),保证\(\prod x\) 存在模\(m\)意义下的逆元

  所以 $$a^{ \phi(m)} \equiv 1 \mod m$$

• 扩展欧拉定理:

  如果 $$(a,m)!=1$$
  则 $$a^b \equiv a^{min(b,b % \phi(m)+\phi(m))} \mod m$$

  设\(f(x)\)为在模\(x\)意义下题目式子的值,那么$$f(x)=2^{2{^{...}}%\phi(x)+\phi(x)} \mod x=2^{f(\phi(x))+\phi(x)} \mod x$$

  然后就可以记忆化搞一搞了

注意

求欧拉函数可以线性预处理也可以直接求,实践证明直接求不知道快到哪里去了

代码:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#define ll long long 
#define ri register int 
using std::sort;
template <class T>inline void read(T &x){
	x=0;int ne=0;char c;
	while(!isdigit(c=getchar()))ne=c=='-';
	x=c-48;
	while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
	x=ne?-x:x;return ;
}
const int maxn=10000005;
const int inf=0x7fffffff;
int t,n;
int mem[maxn];
int phi[maxn];
bool vis[maxn];
inline void get_table(){
	bool is_pri[maxn];
	int num[1000005],tot=0,tmp;
	memset(is_pri,0,sizeof(is_pri));
	is_pri[1]=1;
	phi[1]=1;
	for(ri i=2;i<=maxn;i++){
	    //printf("%d\n",i);
		if(!is_pri[i]){
			num[++tot]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(ri j=1;j<=tot;j++){
			tmp=num[j]*i;
			if(tmp>=maxn)break;
			is_pri[tmp]=1;
			if(i%num[j]==0){
				phi[tmp]=num[j]*phi[i];
				break;
			}
			else {
				phi[tmp]=(num[j]-1)*phi[i];
			}
		}
	}
	return ;
}
inline int get_phi(int x){
	int res=x;
	for(ri i=2;i*i<=n;i++){
		if(x%i==0){
			res=res/i*(i-1);
			while(x%i==0)x=x/i;
		}
	}
	if(x>1)res=res/x*(x-1);
	return res;
}
int ksm(ll x,int c,int p){
	ll ans=1,res=x;
	while(c){
		if(c&1)ans=ans*res%p;
		res=res*res%p;
		c=c>>1;
	}
	return ans%p;
}
int f(int x){
	if(x==1)return 0;
	if(vis[x])return mem[x];
	int p=phi[x];//int p=get_phi(x);
	vis[x]=1;
	mem[x]=ksm(2,f(p)+p,x);
	return mem[x];
}
int main(){
	read(t);
	get_table();
	while(t--){
		read(n);
		printf("%d\n",f(n));
	}
	return 0;
}