【2023.7.18】交汇的光与影，答案落定覆上姓名

2023.7.18

hdu 多校被干碎了。

Resurrection

发现从操作的角度去考虑树的刻画非常困难，考虑直接对树的形态刻画。

一个显然的必要条件是，对于任意 \((u,f_u)\in G\)，\((u,f_u)\) 在 \(T\) 中的连边不会是相交而不包含，只存在相离和包含两种情况。由贪心构造得出其充分性。

使用特殊的自顶向下的刻画方法，\(f(u,i)\) 表示节点 \(u\) 有 \(j\) 个可以连的祖先节点。

转移方程 \(f(u,i)=\sum\limits_{0\le j\lt i}\prod\limits_{v\in son_u} f(v,i-j+1)\)。前缀和优化做到 \(\mathcal O(n^2)\)。

Good Contest

[APIO2016] Boats.

考虑 \(r_i\gets r_i+1\)，区间变为 \([l_i,r_i)\)，离散化区间，\(f_{i,j}\) 表示第 \(i\) 个数取第 \(j\) 个区间的方案数。

转移方程 \(f_{i,j}=\sum\limits_{k=0}^{i-1}\sum\limits_{p\gt j} f_{k,p}\binom{L+i-k-1}{i-k-1}\)，根据吸收恒等式计算前缀和即可。\(\mathcal O(n^3)\)。存在分段函数的相同复杂度做法。

Array GCD

考虑枚举 gcd 为 \(d\)，显然 \(d\) 为 \(a_1,a_1-1,a_1+1,a_n,a_n-1,a_n+1\) 的因数之一。枚举量 \(\mathcal O(\pi(V))\)，基本可以忽略。

考虑计算答案。对于 \(a_i\)，如果 \(d|a_i\) 则记 \(c_i=0\)，若 \(d|(a_i-1)\) 或 \(d|(a_i+1)\) 记 \(c_i=B\)，否则 \(c_i=\rm inf\)。

如果不存在 \(c_i=\rm inf\)，那么先选上所有 \(c_i\)，然后选一个子区间变为 \((r-l+1)\times A\)，最小子段和可以 \(\mathcal O(n)\) 实现。

存在 \(c_i=\rm inf\) 是类似的，假设左右边界为 \(\langle l,r\rangle\)，那么 \([1,l-1]\) 要选一个后缀，\([r+1,n]\) 选一个前缀，枚举即可。总复杂度 \(\mathcal O(n\pi(V))\)。

Count Multiset

这种东西大概理解一下是一个 \(\mathcal O(n^2\ln n)\) 或 \(\mathcal O(n^2\sqrt n)\) 的东西，要看能不能发现一些东西。

题中这个形式很 shaber，考虑集合转成不降序列，然后不降序列又有一个经典套路是转差分，那么题中其实要求不能有不小于 \(m\) 个连续的 \(0\)，然后对于 \(k\in [1,n]\) 计数，第 \(i\) 个位置有一个权值 \(i\)。

这个东西非常棒啊！简单的 dp：\(f(i,j)\) 表示前 \(i\) 个数和为 \(j\)，然后枚举上一个不是 \(0\) 的位置 \(k\) 和填的数。\(f(i,j)=\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \frac{j}{i} \rfloor}\sum\limits_{k=\max(0,i-m)}^{i-1} f(k,j-ix)\)。前缀和优化 \(\mathcal O(n^2\ln n)\)，非常好。

Game on Tree

主播的含金量！为什么 HDU 多校大伙都会这个啊 /ng。

场上瞎试了若干种可以硬套换根的东西，然后喜提九发罚时，为我队成为同题垫底打下了坚实的基础！

考虑这个东西，很难用人类智慧去寻找最优策略，考虑 SG 函数，然后一个重要结论是 \(\mathrm{SG}_u=\bigoplus\limits_{v\in son_u} \mathrm{SG}_v+1\)。

证明的话，首先考虑拆分子树，根据 SG 函数的结论，\(\mathrm{SG}_u\) 就是各个子游戏的异或和。

然后考虑根和下面这个子树，显然对于子树里的任意一种状态，我们都能随后切断根和子树的连边，这样的话接下来的 SG 就是子树 SG + 1。异或得解。HDU 多校那个题就是这个东西套一个换根。