THUWC2017 在美妙的数学王国中畅游

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这个提示貌似没有什么用.
学过泰勒展开就会了.没学过可能不太行.
第一第二个操作就是\(LCT\)板子.
第三个就在\(LCT\)上改改就好了.
第四个好像很麻烦的样子.
首先,我们要知道它要求的是什么.
这个\(e^x\),\(sin(x)\)是什么玩意儿啊
好像不资瓷合并啊
但是我们发现,它不要求很高的精度.
而且下面给了一个提示.
因此学过泰勒展开的同学就知道该怎么做了.
具体而言,我们将其转化为一个多项式.
由于后面的项中,\(x\)的次数很高,系数很小,因此对答案没有什么影响.
如果我们要求\(10^{-7}\)的精度的话,大约只要记录\(13\)~\(14\)项.


如何转换成多项式呢?
先泰勒展开,然后再暴力二项式定理就好了.
其实这个公式我们学校在上\(FFT\)的时候讲过

\[e^x=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}\\ e^{ax+b}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(ax+b)^i}{i!}\\ =\sum_{i=0}^{\infty}\frac{\sum_{j=0}^iC_i^ja^jb^{i-j}x^j}{i!}\\ \]

这两个公式应该还挺有名的.

\[sin(x)=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}\\ sin(ax+b)=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i\frac{(ax+b)^{2i+1}}{(2i+1)!}\\ =\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i\frac{(ax+b)^{2i+1}}{(2i+1)!}\\ =\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i\frac{\sum_{j=0}^{2i+1}C_{2i+1}^ja^jb^{2i+1-j}x^j}{(2i+1)!} \]

这个和上面应该差不多.
不过求\(sin\)的时候注意要多算一点,避免炸精度.


代码如下
但是貌似不够清真
而且跑得超级慢

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<bitset>
#include<set>
#define N (200010)
#define P ()
#define M ()
#define inf (0x7f7f7f7f)
#define rg register int
#define Label puts("NAIVE")
#define spa print(' ')
#define ent print('\n')
#define rand() (((rand())<<(13))^(rand()))
typedef long double ld;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
namespace fastIO2{
	template<class T>
	inline void read(T &x){
		static bool iosig;
		static char c;
		for(iosig=false,c=getchar();!isdigit(c);c=getchar()){
			if(c=='-')iosig=true;
			if(c==-1)return;
		}
		for(x=0;isdigit(c);c=getchar())x=((x+(x<<2))<<1)+(c^'0');
		if(iosig)x=-x;
	}
}
using namespace fastIO2;
ld jc[31],C[31][31];
struct poly{
	ld a[14];
	int n=13,op;
	void change(int tp,ld x,ld y){
		op=tp;
		ld mia[28],mib[28];
		if(tp==3){
			for(int i=2;i<=n;i++)
			a[i]=0; a[1]=x,a[0]=y;
		}
		else if(tp==2){
			for(int i=0;i<=n;i++)a[i]=0;
			mia[0]=1,mib[0]=1;
			for(int i=1;i<=n;i++)
			mia[i]=mia[i-1]*x,mib[i]=mib[i-1]*y;
			for(int i=0;i<=n;i++)
			for(int j=0;j<=i;j++)
			a[j]=a[j]+mib[i-j]*mia[j]/jc[i]*C[i][j];
		}
		else if(tp==1){
			for(int i=0;i<=n;i++)a[i]=0;
			mia[0]=1,mib[0]=1;
			for(int i=1;i<=n*2+1;i++)
			mia[i]=mia[i-1]*x,mib[i]=mib[i-1]*y;
			for(int i=0;i<=13;i++)
			for(int j=0;j<=2*i+1;j++){
				if(j>13)break;
				ld k=mia[j]*mib[2*i+1-j]/jc[2*i+1]*C[2*i+1][j];
				if(i&1)k=-k; a[j]+=k;
			}
		}
	}
	ld query(ld val){
		ld t=1,ans=0;
		for(int i=0;i<=n;i++)
		ans+=t*a[i],t*=val;
		return ans;
	}
	friend poly operator +(poly a,poly b){
		poly res;
		for(int i=0;i<=13;i++)
		res.a[i]=a.a[i]+b.a[i];
		return res;
	}
};
struct node{
	bool rev,rt;
	int s[2],fa;
	poly sum,val;
}T[N];
bool son(int fa,int x){return T[fa].s[1]==x;}
void rev(int x){if(x)swap(T[x].s[0],T[x].s[1]),T[x].rev^=1;}
void pushdown(int x){if(T[x].rev)rev(T[x].s[0]),rev(T[x].s[1]),T[x].rev=0;}
void pushup(int x){T[x].sum=T[T[x].s[0]].sum+T[T[x].s[1]].sum+T[x].val;}
void rotate(int x){
    if(T[x].rt)return;
    int a=T[x].fa,b=T[a].fa,p=son(a,x),q=p^1;
    pushdown(a);pushdown(x),T[a].s[p]=T[x].s[q];
    if(T[x].s[q])T[T[x].s[q]].fa=a;T[x].s[q]=a,T[a].fa=x,T[x].fa=b;
    if(!T[a].rt)T[b].s[son(b,a)]=x;else T[x].rt=1,T[a].rt=0;
    pushup(a),pushup(x);
}
void push(int x){if(!T[x].rt)push(T[x].fa);pushdown(x);}
void Splay(int x){
    push(x);
    for(int fa;!T[x].rt;rotate(x))
    if(!T[fa=T[x].fa].rt)rotate((son(T[x].fa,x)==son(T[fa].fa,fa))?fa:x);
    pushup(x);
}
void access(int x){
    int y=0;
    while(x){
        Splay(x),T[T[x].s[1]].rt=1;
        T[T[x].s[1]=y].rt=false,pushup(x);
        y=x,x=T[x].fa;
    }
}
void mroot(int x){access(x),Splay(x),rev(x);}
void Link(int x,int y){mroot(x),T[x].fa=y,Splay(x);}
int find(int x){access(x),Splay(x);for(;T[x].s[0];x=T[x].s[0]);return x;}
void Cut(int x,int y){
    mroot(x),access(y),Splay(y),pushdown(y);
    T[x].fa=T[y].s[0]=0,T[x].rt=1,pushup(x),pushup(y);
}
void modify(int x,int tp,ld a,ld b){
    access(x),Splay(x);
    T[x].val.change(tp,a,b),pushup(x);
}
bool check(int x,int y){
    if(find(x)==find(y))return 1;
    else return puts("unreachable"),0;
}
void query(int x,int y,ld v){
    if(!check(x,y))return;
    mroot(x),access(y),Splay(y);
    printf("%.10Lf\n",T[y].sum.query(v));
}
int n,zz,m;
int main(){
	read(n),read(m),read(zz),C[0][0]=1;
	jc[0]=1; for(int i=1;i<=27;i++)jc[i]=jc[i-1]*i;
	for(int i=1;i<=27;i++){
		C[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++)
		C[i][j]=C[i-1][j]+C[i-1][j-1];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)T[i].rt=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ld a,b; int tp;
		read(tp),scanf("%Lf%Lf",&a,&b);
		modify(i,tp,a,b);
	}
	while(m--){
		char ch=getchar();
		while(ch<'a'||ch>'z')ch=getchar();
		if(ch=='a'){
			int x,y; read(x),read(y),Link(++x,++y);
		}
		else if(ch=='d'){
			int x,y; read(x),read(y),Cut(++x,++y);
		}
		else if(ch=='m'){
			int tp,x; ld a,b;
			read(x),read(tp),scanf("%Lf%Lf",&a,&b);
			modify(++x,tp,a,b);
		}
		else if(ch=='t'){
			int x,y; ld v;
			read(x),read(y),scanf("%Lf",&v);
			query(++x,++y,v);
		}
	}
}
posted @ 2019-01-16 17:55  Romeolong  阅读(80)  评论(0编辑  收藏