SDOI2017 切树游戏

猫老师的基于变换合并的树上动态DP的链分治算法&SDOI2017切树游戏(cut)解题报告中的例题
一道神仙题.
参考了这位大佬\(Blog\),大家快去%他


注意:此篇文章的约定:
\(s_u\)表示节点\(u\)的子节点集合.
\(ls_u\)表示节点\(u\)的轻儿子集合.
这个轻儿子指树剖之后的.


我们先列出简单\(dp\)方程.
\(f[u][i]\)表示以\(u\)为最高点的连通块中,异或和为\(i\)的方案数.
那么\(f[u][i]=\sum_{j\oplus k=i} f[v][j]*f[u][k]\)
显然,这是一个\(FWT\)的形式.
那么我们先把所有的生成函数都\(FWT\),然后相乘相加都可以直接做,最后再\(IFWT\)即可.
我们再令\(g[u]\)表示以\(u\)为根的子树中,异或和的生成函数.
比较显然的是\(g[u]=f[u]+\sum_{v\in s_u}g[v]\)

现在考虑如何带修.
先树链剖分,然后令\(f,g\)同上文所述,\(lf[u]=\prod_{v\in ls_u}(f[v]+1)\),\(lg[u]=\sum_{v\in ls_u}g[v]\)

\(t\)表示\(u\)的重儿子,则有转移方程:

\[f[u]=(f[t]+1)*lf[u]*w[u]=f[t]*lf[u]*w[u]+lf[u]*w[u]\\ g[u]=f[u]+g[t]+lg[u] \]

那么我们有矩阵乘法

\[\left[ \begin{matrix} lf[u]*w[u]&0&lf[u]*w[u]\\ lf[u]*w[u]&1&lf[u]*w[u]+lg[u]\\ 0&0&1\\ \end{matrix} \right]* \left[ \begin{matrix} f[t]\\ g[t]\\ 1\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} f[u]\\ g[u]\\ 1\\ \end{matrix} \right] \]

可以动笔验证一下这个对不对.

然后在线段树上维护矩阵连乘积.
当我们维护\(lf\)的时候要除法,但是出现\(10007\)的倍数就很麻烦,要除以\(0\).
因此我们要对每个节点单开一棵线段树维护轻儿子乘积.

还有一个优化.
考虑到

\[\left[ \begin{matrix} a1&0&b1\\ c1&1&d1\\ 0&0&1\\ \end{matrix} \right]* \left[ \begin{matrix} a2&0&b2\\ c2&1&d2\\ 0&0&1\\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} a1*a2&0&a1*b2+b1\\ c1*a2+c1&1&c1*b2+d1+d2\\ 0&0&1\\ \end{matrix} \right] \]

因此我们只用保存四个点即可.常数大大减小.

代码如下(非常丑)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<vector>
#define N (30010)
#define P (10007)
#define M (128)
#define inf (0x7f7f7f7f)
#define rg register int
#define Label puts("NAIVE")
#define spa print(' ')
#define ent print('\n')
#define rand() (((rand())<<(15))^(rand()))
typedef long double ld;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
namespace fastIO1{
	inline char read(){
		static const int IN_LEN=1000000;
		static char buf[IN_LEN],*s,*t;
		return (s==t?t=(s=buf)+fread(buf,1,IN_LEN,stdin),(s==t?-1:*s++):*s++);
	}
	template<class T>
	inline void read(T &x){
		static bool iosig;
		static char c;
		for(iosig=false,c=read();!isdigit(c);c=read()){
			if(c=='-')iosig=true;
			if(c==-1)return;
		}
		for(x=0;isdigit(c);c=read())x=((x+(x<<2))<<1)+(c^'0');
		if(iosig)x=-x;
	}
	inline char readchar(){
		static char c;
		for(c=read();!isalpha(c)&&!isdigit(c);c=read())
		if(c==-1)return 0;
		return c;
	}
	const int OUT_LEN = 1000000;
	char obuf[OUT_LEN],*ooh=obuf;
	inline void print(char c) {
		if(ooh==obuf+OUT_LEN)fwrite(obuf,1,OUT_LEN,stdout),ooh=obuf;
		*ooh++=c;
	}
	template<class T>
	inline void print(T x){
		static int buf[30],cnt;
		if(x==0)print('0');
		else{
			if(x<0)print('-'),x=-x;
			for(cnt=0;x;x/=10)buf[++cnt]=x%10+48;
			while(cnt)print((char)buf[cnt--]);
		}
	}
	inline void flush(){fwrite(obuf,1,ooh-obuf,stdout);}
}
using namespace fastIO1;
int n,m,Q;
int w[N],ind,E,fi[N],ne[N<<1],b[N<<1],invm;
int fa[N],son[N],siz[N],top[N],dfn[N],rdfn[N],tmp[N],en[N],pos[N];
int ksm(int a,int p){
	int res=1;
	while(p){
		if(p&1)res=1ll*res*a%P;
		a=1ll*a*a%P,p>>=1;
	}
	return res;
}
struct poly{
	int a[M];
	void FWT(int *a,int tp){
		for(int i=1;i<m;i<<=1)
		for(int R=i<<1,j=0;j<m;j+=R)
		for(int k=j;k<j+i;k++){
			int x=a[k],y=a[k+i];
			a[k]=x+y,a[k+i]=x-y;
		}
		for(int i=0;i<m;i++)a[i]=(a[i]+P)%P;
		if(tp==-1)for(int i=0;i<m;i++)a[i]=a[i]*invm%P;
	}
	void trans(){FWT(a,1);}
	void itrans(){FWT(a,-1);}
	poly operator +(poly x){
		poly ans;
		for(int i=0;i<m;i++)ans.a[i]=(x.a[i]+a[i])%P;
		return ans;
	}
	poly operator -(poly x){
		poly ans;
		for(int i=0;i<m;i++)ans.a[i]=(a[i]-x.a[i]+P)%P;
		return ans;
	}
	poly operator *(poly x){
		poly ans;
		for(int i=0;i<m;i++)ans.a[i]=x.a[i]*a[i]%P;
		return ans;
	}
}g[N],lg[N],f[N],zt[M];
struct lson{
	int len;
	vector<poly> s;
	void build(int l,int r,int x){
		if(l==r){s[x]=f[tmp[l]]+zt[0];return;}
		int mid=(l+r)>>1;
		build(l,mid,x*2),build(mid+1,r,x*2+1);
		s[x]=s[x*2]*s[x*2+1];
	}
	void init(int L){
		s.resize((L+1)<<2),len=L;
		if(!L)s[1]=zt[0];else build(1,len,1);
	}
	void modify(int L,int R,int k,poly t,int x){
		if(L==R){s[x]=t;return;}
		int mid=(L+R)>>1;
		if(k<=mid)modify(L,mid,k,t,x*2);
		else modify(mid+1,R,k,t,x*2+1);
		s[x]=s[x*2]*s[x*2+1];
	}
	void modify(int k,poly t){modify(1,len,k,t,1);}
}lf[N];
struct Matrix{
	poly a,b,c,d;
	Matrix(){}
	Matrix (poly x,poly y){a=b=c=x,d=x+y;}
	Matrix operator *(Matrix x){
		Matrix ans;
		ans.a=a*x.a,ans.b=a*x.b+b,ans.c=c*x.a+x.c,ans.d=c*x.b+x.d+d;
		return ans;
	}
}t[N<<2];
void add(int x,int y){
	ne[++E]=fi[x],fi[x]=E,b[E]=y;
}
void dfs1(int u,int pre){
	siz[u]=1,f[u]=zt[w[u]];
	for(int i=fi[u];i;i=ne[i]){
		int v=b[i];
		if(v==pre)continue;
		fa[v]=u,dfs1(v,u),siz[u]+=siz[v];
		f[u]=f[u]*(f[v]+zt[0]),g[u]=g[u]+g[v];
		if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;
	}
	g[u]=g[u]+f[u];
}
void dfs2(int u){
	rdfn[dfn[u]=++ind]=u;
	if(son[u])top[son[u]]=top[u],dfs2(son[u]),en[u]=en[son[u]];
	else en[u]=u;
	for(int i=fi[u];i;i=ne[i]){
		int v=b[i];
		if(v==fa[u]||v==son[u])continue;
		top[v]=v,dfs2(v),lg[u]=lg[u]+g[v];
	}
	int ls=0;
	for(int i=fi[u];i;i=ne[i])
	if(b[i]!=fa[u]&&b[i]!=son[u])tmp[pos[b[i]]=++ls]=b[i];
	lf[u].init(ls);
}
void build(int l,int r,int x){
	if(l==r){
		int u=rdfn[l];
		t[x]=Matrix(lf[u].s[1]*zt[w[u]],lg[u]);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(l,mid,x*2),build(mid+1,r,x*2+1);
	t[x]=t[x*2]*t[x*2+1];
}
void modify(int L,int R,int k,Matrix mat,int x){
	if(L==R){t[x]=mat;return;}
	int mid=(L+R)>>1;
	if(k<=mid)modify(L,mid,k,mat,x*2);
	else modify(mid+1,R,k,mat,x*2+1);
	t[x]=t[x*2]*t[x*2+1];
}
Matrix query(int L,int R,int l,int r,int x){
	if(L==l&&R==r)return t[x];
	int mid=(L+R)>>1;
	if(r<=mid)return query(L,mid,l,r,x*2);
	else if(l>mid)return query(mid+1,R,l,r,x*2+1);
	else return query(L,mid,l,mid,x*2)*query(mid+1,R,mid+1,r,x*2+1);
}
int main(){
	read(n),read(m),invm=ksm(m,P-2);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(w[i]);
	for(int i=0;i<m;i++)zt[i].a[i]=1,zt[i].trans();
	for(int i=1,x,y;i<n;i++)
	read(x),read(y),add(x,y),add(y,x);
	dfs1(1,0),top[1]=1,dfs2(1),read(Q);
	build(1,n,1);
	while(Q--){
		char ch=readchar(); int x; read(x);
		if(ch=='Q'){
			poly ans=query(1,n,1,dfn[en[1]],1).d;
			ans.itrans(),print((ans.a[x]+P)%P),ent;
		}
		else{
			read(w[x]);
			while(x){
				Matrix tmp=Matrix(lf[x].s[1]*zt[w[x]],lg[x]);
				modify(1,n,dfn[x],tmp,1);
				x=top[x]; int pre=fa[x];
				if(!pre)break;
				tmp=query(1,n,dfn[x],dfn[en[x]],1);
				lf[pre].modify(pos[x],tmp.b+zt[0]);
				lg[pre]=lg[pre]-g[x],g[x]=tmp.d,lg[pre]=lg[pre]+g[x];
				x=fa[x];
			}
		}
	}
	return flush(),0;
}
posted @ 2019-01-04 17:42  Romeolong  阅读(105)  评论(0编辑  收藏