[AGC022E] Median Replace 题解

题意

对于一个\(\mathtt{01}\)串我们每次可将\(3\)个连续的字符替换成这三个数的中位数，如果最后可以得到长度为\(1\)的字符串\(\mathtt{1}\),我们称这个字符串是漂亮的。

现有\(1\)个长度为奇数的\(\mathtt{01}\)串\(s\) 其中有若干位置是\(？\),表示该字符可以被替换为\(\mathtt{0,1}\)中的任意一个字符，求这个字符串可以表示多少个不同的漂亮的字符串，答案对 $ 10^{9}\ +\ 7 $ 取模。

\(|S|\le 300000\)

题解

本篇题解基本上为yhx大佬的题解的总结，更详细的题解请参见大佬的博客。

这类字符串问题常常需要我们写出状态的转移数组再进行DP。

1.操作分类

我们首先考虑如何判断一个串是否是漂亮的。

我们发现操作可以分为三种：

1.\(\texttt{000} \to \texttt{0}\)

2.去掉相邻的一对 \(\texttt 0, \texttt 1\)

3.\(\texttt{111} \to \texttt{1}\)

2.操作优先级

可以发现这三类操作有优先级，优先级为\(1>2>3\)

我们考虑如何证明这个优先级。

首先，容易发现，如何一个串\(S\)是漂亮的，那么将\(S\)中的一些\(\mathtt{0}\)替换为\(\mathtt{1}\)后其仍是漂亮的，因为我们仍然可以按照原先的操作序列进行操作。

如果当前字符串为\(S = a \cdot \texttt{0001} \cdot b\) ,假设我们通过操作2得到的\(S' = a \cdot \texttt{00} \cdot b\)是漂亮的，那么我们通过操作1得到的\(S'' = a \cdot \texttt{01} \cdot b\)也是漂亮的，即通过操作2可以得到的合法操作序列通过操作1也一定能得到，操作1优先于操作2，运用类似的方法可以证明操作2优先于操作3。

3.贪心判断算法

我们现在得到了一个贪心的判断算法：

1.维护一个栈，如果栈顶三个字符为\(\mathtt{000}\)，则弹出其中两个\(\mathtt{0}\)

2.如果栈顶为\(\mathbb{1}\)，次栈顶为\(\mathtt{0}\)，也立即弹出两个字符；如果栈顶为\(\mathbb{0}\)，次栈顶为\(\mathtt{1}\)，就先留着，因为可能会遇到连续三个\(\mathtt{0}\)的更优情况

3.在这种贪心的过程中，一旦栈内出现了连续两个\(\mathtt{1}\)，就可以说明该字符串一定是漂亮的，因为我们可以先把后面的合并了再合并这两个\(1\)，从而得到\(1\)

自此我们得到了\(O(n)\)的判断算法。

4.自动机跑匹配

我们发现栈内状态及弹出的过程很像自动机的状态及转移，于是我们可以写出状态的转移数组再进行自动机上的DP。

自动机如下(S表示空节点)：

我们在自动机上跑匹配即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e5+5;
const int mod=1e9+7;
#define add(a,b) a=(a+b)%mod
char s[N];
int f[N][7],g[2][7]={{1,3,4,1,6,5,4},{2,0,5,1,2,5,4}};
int main(){
	scanf("%s",s+1);
	int n=strlen(s+1);
	f[0][0]=1;
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<7;j++){
			if(s[i+1]!='1')add(f[i+1][g[0][j]],f[i][j]);
			if(s[i+1]!='0')add(f[i+1][g[1][j]],f[i][j]);
		}
	printf("%d\n",(f[n][2]+f[n][5])%mod);
	return 0;
}