莫比乌斯函数学习笔记

一、莫比乌斯函数定义

设唯一分解 $n=\prod_{i=1}^{k}p_{i}^{c_{i}}$ ，定义 $\mu \left ( n \right )= \left\{\begin{matrix} 1 & n=1\\ 0 & k^2\mid n\\ \left ( -1 \right )^k & \forall c_{i}=1 \end{matrix}\right.$

二、莫比乌斯函数性质

$\sum_{d\mid n}\mu \left ( d \right )=\left\{\begin{matrix} 1 & n= 1\\ 0 & n> 1 \end{matrix}\right.$

三、反演定理

形式一：

证明（自己打的，可能有误QAQ）：

由 $f\left ( n \right )= \sum_{d\mid n}g\left ( d \right )$ 得 $\sum_{d\mid n}\mu \left ( d \right )f\left ( \frac{n}{d} \right )=\sum_{d\mid n}\mu \left ( d \right ) \sum_{k\mid \frac{n}{k}}g\left ( k \right )$

由恒等变形得 $\sum_{d\mid n}\mu \left ( d \right ) \sum_{k\mid \frac{n}{k}}g\left ( k \right )=\sum_{k\mid n}g\left ( k \right )\sum_{d\mid \frac{n}{k}}\mu \left ( d \right )$

由莫比乌斯函数性质 $\sum_{d\mid n}\mu \left ( d \right )=\left\{\begin{matrix} 1 & n= 1\\ 0 & n> 1 \end{matrix}\right.$ 得 $k= n$ 则 $\sum_{k\mid n}g\left ( k \right )\sum_{d\mid \frac{n}{k}}\mu \left ( d \right )=g\left ( n \right )$