bzoj5093 图的价值

我们对每个点单独考虑贡献，枚举其度数，别的点之间随便连

$$ans=n\cdot2^{C_{n-1}^{2}}\cdot\sum_{i=0}^{n-1}{ {C_{n-1}^{i}} \cdot {i^{k}}}$$

考虑$m^{n}$为将n个球放进m个盒子的方案数，于是我们枚举放到了几个盒子里，利用第二类斯特林数

$$m^{n}=\sum_{i=0}^{m}{{C_{m}^{i}} \cdot {S(n,i)} \cdot {i!}}$$

所以$$ans=n\cdot2^{C_{n-1}^{2}}\cdot\sum_{i=0}^{n-1}{ {C_{n-1}^{i}} \cdot {\sum_{j=0}^{i}{{C_{i}^{j}} \cdot {S(k,j)} \cdot {j!}}}}$$

$$ans=n\cdot2^{C_{n-1}^{2}}\cdot {\sum_{j=0}^{n-1}{  {S(k,j)} \cdot {j!}}}  \cdot  {\sum_{i=j}^{n-1}{  { C_{n-1}^{i} }\cdot {C_{i}^{j}} }}$$

又因为$$ {\sum_{i=j}^{n}{  { C_{n}^{i} }\cdot {C_{i}^{j}} }}={\sum_{i=j}^{n}{  { C_{n}^{j} }\cdot {C_{n-j}^{i-j}} }}=C_{n}^{j}  \cdot  {  \sum_{i=0}^{n}{C_{n-j}^{i}}  }=C_{n}^{j}*2^{n-j}$$

所以$$ans=n\cdot2^{C_{n-1}^{2}}\cdot {\sum_{j=0}^{n-1}{  {S(k,j)} \cdot {j!}}} \cdot C_{n-1}^{j}\cdot 2^{n-j-1}$$

这时候我们发现$j$的枚举上限可以降低到$k$，因为$S(k,j)=0(j>k)$

对于第二类斯特林数，我们发现$$S(n,m)={\frac{1}{m!}}    {\sum_{i=0}^{m}{{(-1)^{i}}   \cdot  {C_{m}^{i}}  \cdot   {(m-i)^{n}}  }}$$

$$={\sum_{i=0}^{m}{  {\frac{(-1)^{i}}{i!}}   \cdot  { \frac{(m-i)^{n}}{(m-i)!}}  }}$$

发现是卷积的形式，于是我们可以直接上NTT，于是复杂度就变成了$O({k}  \cdot  {log(k)})$

至此，我们完美的解决了这道题！

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define MAXN 533333
#define int long long
#define mod 998244353
using namespace std;
int A[MAXN],B[MAXN],S[MAXN];
int C[MAXN],rev[MAXN],n,N,K;
int NY,ny[MAXN],fac[MAXN],ans;
int qp(int a,int b){
    int c=1;
    while(b){
        if(b&1)c=c*a%mod;
        a=a*a%mod; b>>=1;
    }return c;
}
void ntt(int *a,int o){
    register int i,j,k,dan,now,t;
    for(i=0;i<N;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(k=2;k<=N;k<<=1){
        dan=qp(3,o==1?(mod-1)/k:(mod-1-(mod-1)/k));
        for(j=0;j<N;j+=k){
            now=1;
            for(i=0;i<(k>>1);i++,now=now*dan%mod){
                t=now*a[i+j+(k>>1)]%mod;
                a[i+j+(k>>1)]=(a[i+j]-t+mod)%mod;
                a[i+j]=(a[i+j]+t)%mod;
            }
        }
    }
    if(o==-1)for(i=0;i<N;i++)(a[i]*=NY)%=mod;
}
signed main(){
    register int i;
    scanf("%lld%lld",&n,&K);
    fac[0]=ny[0]=1;
    for(i=1;i<=K;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
        ny[i]=qp(fac[i],mod-2);
    }
    C[0]=1;
    for(i=1;i<=K;i++)
        C[i]=C[i-1]*(n-i)%mod*qp(i,mod-2)%mod;
    for(i=0;i<=K;i++){
        A[i]=((i&1?-1:1)*ny[i]+mod)%mod;
        B[i]=qp(i,K)*ny[i]%mod;
    }
    for(N=1;N<=K+K;N<<=1);
    NY=qp(N,mod-2);
    for(i=0;i<N;i++){
        if(i&1)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(N>>1);
        else rev[i]=rev[i>>1]>>1;
    }
    ntt(A,1);ntt(B,1);
    for(i=0;i<N;i++)S[i]=A[i]*B[i]%mod;
    ntt(S,-1);
    for(i=0;i<=min(n-1,K);i++)
        (ans+=S[i]*fac[i]%mod*qp(2,n-i-1)%mod*C[i]%mod)%=mod;
    ans=ans*n%mod*qp(2,((n-1)*(n-2)/2)%(mod-1))%mod;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}