学习笔记 【四边形不等式的模型】
四边形不等式的模型
前言
对于四边形不等式，做题时总会找较为普遍的模型，它们具有决策单调性，而在大部分情况下这些模型总能归类到以下几种，为了方便理解和总结作用我在以下给出几种比较常见的模型。
当然真正在考场上做题做好还是打表找决策点，更方便一些。
写的比较拉，后面因为咕咕咕就真全阉了。
本篇
基本转换形式
- 由 \(w(l-1,r) + w(l,r+1) \le w(l,r)+w(l-1,r+1)\) 推导到任意 \(a\),\(b\) 满足 \(l-a\ge 1\) 且 \(r+b\le n\) ，均满足 \(w(l-a,r)+w(l,r+b)\le w(l,r)+w(l-a,r+b)\)。
数学归纳法证明：
现有式子 ①：\(w(l-1,r) + w(l,r+1) \le w(l,r)+w(l-1,r+1)\) 。
对于区间 \([l-1,r]\) ，通过这个基本形式可得式子 ②：\(w(l-2,r) + w(l-1,r+1) \le w(l-1,r)+w(l-2,r+1)\) 。
两式同号相加，并去除相同项得：\(w(l-2,r) +w(l,r+1) \le w(l-2,r+1)+w(l,r)\)
即不等式从四元组 \((l-1,l,r,r+1)\) 可推导到 \((l-2,l,r,r+1)\)。
则归纳可得 ① 可以推导到任意四元组 \((a,b,c,d)~(a\le b\le c\le d)\)。（相等的时候不是显然成立）
1D|1D
最经典simple的形式。
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有 \(f[i] = \min\{f[j] + w(j, i)\}~ (j< i)\) 且 \(w(l-1,r) + w(l,r+1) \le w(l,r)+w(l-1,r+1)\) （即 \(w\) 满足四边形不等式）。
式子中 \(w(j, i)\) 写成 \(w(j + 1, i)\) 也可以，定义都是相同的。
则 \(f[i]\) 的决策点下标必然大于等于 \(f[j]\) $(j\le i) $ （决策点非严格单调递增）（这里的 \(j\) 不同于上面的 \(j\) ）的决策点。
证明：
令 \(d[j]\) 为 \(f[j]\) 的决策点，假设 \(f[i]\) 的决策点下标小于 \(d[j]\) 令为 \(x\) （\(i > j\)）。
同号不等式相加得：
以下两类证明的过程比较复杂生硬，这里只给出一些结论，若要深度弄懂这些结论可以上OI-wiki查阅，十分详细。
2D|1D(非区间)
类似于机器人生产工作时间放置问题，本篇以 luoguP4767 为例。
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有 \(f[i][j]=\begin{cases} min\{f[k][j-1]+w(k+1,i)\}&(k<i\&j\ge 2)\\ w(1,i)&(j=1)\end{cases}\) 且 \(w\) 满足四边形不等式。
令 \(d[i][j]\) 为 \(f[i][j]\) 的决策点。
则 \(d[i][j]\) 非严格单调递增且满足\(d[i][j-1]\le d[i][j]\le d[i+1][j]\)，且 \(f[i][j]\) 也满足四边形不等式。
2D|1D(区间)
也是很经典的式子（类似于合并果子）：
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有 \(f[i][j] = \begin{cases}\min\{f[i][k] + f[k + 1][j] + \texttt{value} (i, j) \} & (j > i) \\ 0 & (i = j) \end{cases}\)
令 \(d[i][j]\) 是 \(f[i][j]\) 的决策点。
则 \(d[i][j]\) 非严格单调递增且满足\(d[i][j-1]\le d[i][j]\le d[i+1][j]\)，且 \(f[i][j]\) 也满足四边形不等式。
