高代：反射与反射矩阵的正交分解

反射变换

从几何上理解反射即对称。

更加形式化地，若 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 相对于 \(v\) 反射，不妨设 \(|v|=1\)，\(\alpha_1 = (\alpha , v)v\)，\(\beta_1 = (\beta , v)v\)，则有 \(\alpha_1 + \beta_1 = 0\) 且 \(\alpha - \alpha_1 = \beta - \beta_1\)。

依据这一点，我们可以计算出 \(\alpha\) 相对于 \(v\) 的反射矩阵 \(H\)，使得 \(H\alpha = \beta\)：

由定义我们知道：

\[\beta = -\alpha_1 + (\alpha - \alpha_1) \\\beta = \alpha - 2\alpha_1 \\\beta = \alpha - 2 (\alpha , v)v \\\beta = \alpha - 2 v^T \alpha v = \alpha - 2 v v^T \alpha \\\beta = (I - 2 v v^T) \alpha \]

则可以得到 \(H = I - 2 v v^T\)。

经过验证推导可以得到 \(H^T = H\) 与 \(H H^T = I\) 两个性质，并得到推论 \(H^2 = I\)。

即事实上 \(H\) 为正交矩阵。

定理：\(A\) 为 \(n\) 阶正交矩阵，则 \(A\) 可至多写成 \(n\) 个反射矩阵的乘积

证明：

若 \(n = 1\)，则 \(A = 1\) 或 \(A = -1\)，也即是 \(A\) 是关于 \(O\) 的反射，显然成立。

否则，不妨假设 \(W\) 是 \(R^n\) 的子空间，并且 \(\forall \alpha \in W\) 有 \(A\alpha = \alpha\) 且 \(\forall \beta \not \in W\) 有 \(A \beta \not = \beta\) 和 \((\alpha ,\beta) = 0\)。

若 \(\dim W = n\) 则有 \(A = I\)，那么它可以写作任意反射矩阵平方，显然成立。

若 \(\dim W = k < n\)，则 \(\exist \alpha \not \in W\)，则由于正交矩阵的保长性，可以以 \(v = A\alpha - \alpha\) 为反射面构造反射矩阵 \(H = (I - 2vv^T)\)。

下证 \(\dim W_{HA} > k\)：

由反射矩阵性质可得 \(HA\alpha = \alpha\)，此外 \(\forall \beta \in W\)，则有：

\[HA\beta = H\beta \\= (I - 2(A\alpha - \alpha)(A\alpha - \alpha)^T) \beta \\= (I - 2(A - I)\alpha\alpha^T(A^T - I)) \beta \\= (\beta - 2(A - I)\alpha \alpha^T(A^T\beta - \beta) ) \]

由于 \(A^TA \beta = \beta\) 和 \(A \beta = \beta\)，所以 \(A^T \beta = \beta\)。

因此 \(HA\beta = \beta\)，于是 \(\dim W_{HA} \geq k + 1\)。

由归纳法可得 \(HA\) 可以写成至多 \(n - k\) 个反射矩阵的乘积，而 \(H\) 也为逆为其自身的反射矩阵。

所以 \(A\) 也可以写作至多 \(n - k \leq n\) 个反射矩阵的乘积。

事实上，\(A\) 最少可以表示成 \(n - \dim \ker (A-I)\) 个反射矩阵的乘积，我们在上面的工作中找到了这个下界的构造方式，但我暂时还不知道为什么它就是最小值的下界。

备注： 助教证了个啥啊，我服了，感觉有一半是伪证。通过我觉得不是伪证的那部分yy了半天yy出了上面的结果。