AT_abc241_h题解

Card Deck Score

题面：有一些卡牌，每张卡牌上有一个数字，具体的，有 \(b_i\) 张卡牌上的数字为 \(a_i\)。

求出拿走其中 \(m\) 张卡牌的贡献之和。贡献为这些卡牌的乘积。对于本质相同的卡牌组合，只算一次。

• \(n\leq 16,m\leq 10^{18},b_i\leq 10^{17},1\leq a_i<mod\)

\(sol\) ：

首先对于每种卡牌构造生成函数：

\[\sum\limits_{j=0}^{b_i} a_i^jx^j=\frac{1-a_i^{b_i+1}x^{b_i+1}}{1-a_ix} \]

最终答案的就是：

\[\begin{aligned} [x^m]\prod\limits_{i=1}^n \frac{1-a_i^{b_i+1}x^{b_i+1}}{1-a_ix}\\ =[x^m]\frac{\prod\limits_{i=1}^n1-a_i^{b_i+1}x^{b_i+1}}{\prod\limits_{i=1}^n1-a_ix} \end{aligned} \]

这里因为 \(n\) 很小，只有 \(16\) 所以可以\(2^n\)暴力把分子部分展开。假设展开有 \(w\) 项，第 \(i\) 项为 \(c_ix^{d_i}\) ，则累加每一项的贡献得到的答案就是：

\[\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^wc_i\times[x^{n-d_i}]\frac{1}{\prod\limits_{i=1}^n1-a_ix} \end{aligned} \]

现在问题变成了 \(2^n\) 次询问分母某一位的值。处理分母可以考虑待定系数，如果可以写成求和的形式就好做多了，于是我们令：

\[\begin{aligned} \prod\limits_{i=1}^n\frac1{1-a_ix}=\sum\limits_{i=1}^n \frac{p_i}{1-a_ix}\\ \sum\limits_{i=1}^n \frac{p_i}{1-a_ix}\prod\limits_{j=1}^n 1-a_jx=1\\ \sum\limits_{i=1}^n p_i\prod\limits_{j=1,j\ne i}^n 1-a_jx=1\\ \end{aligned} \]

一般来说生成函数中的 \(x\) 是没有实际意义的，但是这里我们可以考虑把它当作一个普通的函数，而普通函数有一个优势，可以代值求待定系数。所以我们代入 \(x=\frac1{a_k}\) 那么当 \(j=k\) 时，式子中 \(1-a_jx=0\) ，也就是说只有 \(i=k\) 这一项被保留了下来：

\[\begin{aligned} p_i\prod\limits_{j=1,j\ne i}^n 1-\frac{a_j}{a_i}=1\\ p_i=\frac1{\prod\limits_{j=1,j\ne i}^n 1-\frac{a_j}{a_i}} \end{aligned} \]

于是我们可以求出每一项的待定系数，现在再看一下分母的形式就非常好求了：

\[\begin{aligned} [x^k]\sum\limits_{i=1}^n \frac{p_i}{1-a_ix}\\ =\sum\limits_{i=1}^n[x^k]\frac{p_i}{1-a_ix}\\ =\sum\limits_{i=1}^np_i\times a_i^k \end{aligned} \]

至此，我们得到了一个单次 \(O(n)\) 查询某一位的做法。

最终复杂度：\(O(n2^n)\)

code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353,N=1e6+5;
inline ll rd()
{
	char c;ll f=1;
	while(!isdigit(c=getchar()))if(c=='-')f=-1;
	ll x=c-'0';
	while(isdigit(c=getchar()))x=x*10+(c^48);
	return x*f;
}
ll qp(ll x,ll y)
{
    ll res=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)res=res*x%mod;
        x=x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
ll n,m,a[20],in,b[20],x[20],p[20],nx[N],P[N],w=1;
int main()
{
	n=rd(),m=rd();
    for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=rd(),b[i]=rd(),x[i]=-qp(a[i],b[i]+1);
    nx[w]=1,P[w]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	int t=w;
        for(int j=1;j<=t;j++)
        {
            nx[++w]=nx[j]*x[i]%mod;
            P[w]=P[j]+b[i]+1;
        }
	}
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        p[i]=1,in=qp(a[i],mod-2);
        for(int j=1;j<=n;j++) if(i!=j)
            p[i]=p[i]*qp(1-in*a[j]%mod+mod,mod-2)%mod;
    }
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=w;i++)
    {
        if(P[i]>m) continue;
        ll now=m-P[i];
        ll res=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            (res+=(p[j]*qp(a[j],now)%mod))%=mod;
        (ans+=(nx[i]*res%mod))%=mod;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}