2876: [Noi2012]骑行川藏 - BZOJ
Description
蛋蛋非常热衷于挑战自我，今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨。川藏线的沿途有着非常美丽的风景，但在这一路上也有着很多的艰难险阻，路况变化多端，而蛋蛋的体力十分有限，因此在每天的骑行前设定好目的地、同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情。
由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车，因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功（不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响）。某一天他打算骑N段路，每一段内的路况可视为相同：对于第i段路，我们给出有关这段路况的3个参数 si , ki , vi' ，其中 si 表示这段路的长度， ki 表示这段路的风阻系数， vi' 表示这段路上的风速（表示在这段路上他遇到了顺风，反之则意味着他将受逆风影响）。若某一时刻在这段路上骑车速度为v，则他受到的风阻大小为 F = ki ( v - vi' )2（这样若在长度为s的路程内保持骑行速度v不变，则他消耗能量（做功）E = ki ( v - vi' )2 s）。
设蛋蛋在这天开始时的体能值是 Eu ，请帮助他设计一种行车方案，使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间T是多少。
【评分方法】
本题没有部分分，你程序的输出只有和标准答案的差距不超过0.000001时，才能获得该测试点的满分，否则不得分。
【数据规模与约定】
对于10%的数据，N=1；
对于40%的数据，N<=2；
对于60%的数据，N<=100；
对于80%的数据，N<=1000；
对于所有数据，N <= 10000，0 <= Eu <= 108，0 < si <= 100000，0 < ki <= 1，-100 < vi' < 100。数据保证最终的答案不会超过105。
【提示】
必然存在一种最优的体力方案满足：蛋蛋在每段路上都采用匀速骑行的方式。
Input
第一行包含一个正整数N和一个实数Eu，分别表示路段的数量以及蛋蛋的体能值。 接下来N行分别描述N个路段，每行有3个实数 si , ki , vi' ，分别表示第 i 段路的长度，风阻系数以及风速。
Output
输出一个实数T，表示蛋蛋到达目的地消耗的最短时间，要求至少保留到小数点后6位。
Sample Input
3 10000
10000 10 5
20000 15 8
50000 5 6
Sample Output
12531.34496464
【样例说明】 一种可能的方案是：蛋蛋在三段路上都采用匀速骑行的方式，其速度依次为5.12939919, 8.03515481, 6.17837967。
想了一下，然后看了年鉴，没想到是这样的，我只是不敢写
上次做了一道类似的也是把体力用到增长率最高的地方，这个很巧
方法就是先搞一个合法的能量分配（一定要合法，能量要大于0，速度要大于0），然后调整
步长为del（开始为Eu），每次选一个增加选一个减少，然后一定要收益为正（用一个两个堆维护（t[e[i]]-t[e[i]+del]）和（t[e[i]]-t[e[i]-del]）的最大值）
每次做完后步长变成原来的1/k，一直做，做到步长足够小
可以证明这样做时间是n*logn*logV的，因为
第一次每个数最多变一次
后面的时候每个数最多变k次左右，如果超过了的话，那么在上一层就应该已经被更改了
做完之后拿数据测了一下，对了，然后就交，结果最后三个点RE
下完数据发现，数据跟年鉴上的不一样，s[i]有=0的情况，坑爹啊，我算t的时候有/s的地方，然后改了就A了TAT......
正解就差不多是算导数（增长率），我觉得不好算就没写了（不太喜欢算导数）
1 const 2 maxn=10010; 3 eps=1e-14; 4 oo=1e7; 5 kk=6; 6 type 7 aa=array[0..maxn]of double; 8 bb=array[0..maxn]of longint; 9 var 10 k,s,v,e,del1,del2:aa; 11 q1,q2,h1,h2:bb; 12 n,r1,r2:longint; 13 c,all,ans:double; 14 15 function t(s,k,v,e:double):double; 16 begin 17 if e<0 then exit(oo); 18 v:=v+sqrt(e/k/s); 19 if v<eps then exit(oo); 20 exit(s/v); 21 end; 22 23 procedure swap(var x,y:longint); 24 var 25 t:longint; 26 begin 27 t:=x;x:=y;y:=t; 28 end; 29 30 procedure up(var q,h:bb;var del:aa;var r:longint;x:longint); 31 var 32 i:longint; 33 begin 34 while x>1 do 35 begin 36 i:=x>>1; 37 if del[q[x]]>del[q[i]]+eps then 38 begin 39 swap(q[i],q[x]); 40 h[q[i]]:=i;h[q[x]]:=x; 41 x:=i; 42 end 43 else exit; 44 end; 45 end; 46 47 procedure down(var q,h:bb;var del:aa;var r:longint;x:longint); 48 var 49 i:longint; 50 begin 51 i:=x<<1; 52 while i<=r do 53 begin 54 if (i<r) and (del[q[i+1]]>del[q[i]]+eps) then inc(i); 55 if del[q[i]]>del[q[x]] then 56 begin 57 swap(q[i],q[x]); 58 h[q[i]]:=i;h[q[x]]:=x; 59 x:=i;i:=x<<1; 60 end 61 else exit; 62 end; 63 end; 64 65 procedure new(x:longint); 66 begin 67 del1[x]:=t(s[x],k[x],v[x],e[x])-t(s[x],k[x],v[x],e[x]-c); 68 del2[x]:=t(s[x],k[x],v[x],e[x])-t(s[x],k[x],v[x],e[x]+c); 69 up(q1,h1,del1,r1,h1[x]);down(q1,h1,del1,r1,h1[x]); 70 up(q2,h2,del2,r2,h2[x]);down(q2,h2,del2,r2,h2[x]); 71 end; 72 73 procedure main; 74 var 75 i,u,vv,cnt:longint; 76 ll,rr,mid:double; 77 begin 78 read(n,all);c:=all;cnt:=0; 79 for i:=1 to n do 80 begin 81 inc(cnt); 82 read(s[cnt],k[cnt],v[cnt]); 83 if s[cnt]=0 then dec(cnt); 84 end; 85 n:=cnt; 86 for i:=1 to n do 87 begin 88 ll:=0;rr:=all; 89 while abs(ll-rr)>1 do 90 begin 91 mid:=(ll+rr)/2; 92 if t(s[i],k[i],v[i],mid)<1e5 then rr:=mid 93 else ll:=mid; 94 end; 95 e[i]:=rr;all:=all-rr; 96 end; 97 e[1]:=e[1]+all; 98 while c>eps do 99 begin 100 r1:=0;r2:=0; 101 for i:=1 to n do 102 begin 103 inc(r1);q1[r1]:=i;h1[i]:=r1; 104 inc(r2);q2[r2]:=i;h2[i]:=r2; 105 new(i); 106 end; 107 cnt:=0; 108 while del1[q1[1]]+del2[q2[1]]>eps do 109 begin 110 inc(cnt);if cnt>n*kk*2 then break; 111 u:=q1[1];vv:=q2[1]; 112 e[u]:=e[u]-c;e[vv]:=e[vv]+c; 113 new(u);new(vv); 114 end; 115 c:=c/kk; 116 end; 117 for i:=1 to n do ans:=ans+t(s[i],k[i],v[i],e[i]); 118 writeln(ans:0:8); 119 end; 120 121 begin 122 main; 123 end.
突然发现求导的方法很好写，就写了，只不过要用extended（至今不知道double和extended有什么区别233，一般都一样，不过有些只能用double，有些只能用extended，我不知道为什么）
1 const 2 maxn=10010; 3 eps=1e-12; 4 inf=1e6; 5 var 6 s,k,v:array[0..maxn]of extended; 7 n,cnt:longint; 8 all,ans:extended; 9 10 function flag(x:extended):boolean; 11 var 12 i:longint; 13 l,r,mid,a:extended; 14 begin 15 a:=all; 16 for i:=1 to n do 17 begin 18 l:=v[i];r:=inf; 19 while abs(l-r)>eps do 20 begin 21 mid:=(l+r)/2; 22 if 2*k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid 23 else l:=mid; 24 end; 25 if l<eps then exit(false); 26 a:=a-s[i]*k[i]*sqr(l-v[i]); 27 if a<0 then exit(false); 28 end; 29 exit(true); 30 end; 31 32 procedure main; 33 var 34 l,r,mid,x:extended; 35 i:longint; 36 begin 37 read(n,all); 38 for i:=1 to n do 39 begin 40 inc(cnt); 41 read(s[cnt],k[cnt],v[cnt]); 42 if s[cnt]=0 then dec(cnt); 43 end; 44 n:=cnt; 45 l:=0;r:=inf; 46 while abs(l-r)>eps do 47 begin 48 mid:=(l+r)/2; 49 if flag(mid) then l:=mid 50 else r:=mid; 51 end; 52 x:=l; 53 for i:=1 to n do 54 begin 55 l:=v[i];r:=inf; 56 while abs(l-r)>eps do 57 begin 58 mid:=(l+r)/2; 59 if 2*k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid 60 else l:=mid; 61 end; 62 ans:=ans+s[i]/l; 63 end; 64 writeln(ans:0:8); 65 end; 66 67 begin 68 assign(input,'bicycling.in');reset(input); 69 assign(output,'bicycling.out');rewrite(output); 70 main; 71 close(output);close(input); 72 end.
为什么两个二分用两个eps就可以用double过了TAT（看来eps较小的情况还是用extended吧）
1 const 2 maxn=10010; 3 eps=1e-13; 4 eps1=1e-11; 5 inf=1e6; 6 var 7 s,k,v:array[0..maxn]of double; 8 n,cnt:longint; 9 all,ans:double; 10 11 function flag(x:double):boolean; 12 var 13 i:longint; 14 l,r,mid,a:double; 15 begin 16 a:=all; 17 for i:=1 to n do 18 begin 19 l:=v[i];r:=inf; 20 while abs(l-r)>eps do 21 begin 22 mid:=(l+r)/2; 23 if 2*k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid 24 else l:=mid; 25 end; 26 if l<eps then exit(false); 27 a:=a-s[i]*k[i]*sqr(l-v[i]); 28 if a<0 then exit(false); 29 end; 30 exit(true); 31 end; 32 33 procedure main; 34 var 35 l,r,mid,x:double; 36 i:longint; 37 begin 38 read(n,all); 39 for i:=1 to n do 40 begin 41 inc(cnt); 42 read(s[cnt],k[cnt],v[cnt]); 43 if s[cnt]=0 then dec(cnt); 44 end; 45 n:=cnt; 46 l:=0;r:=inf; 47 while abs(l-r)>eps1 do 48 begin 49 mid:=(l+r)/2; 50 if flag(mid) then l:=mid 51 else r:=mid; 52 end; 53 x:=l; 54 for i:=1 to n do 55 begin 56 l:=v[i];r:=inf; 57 while abs(l-r)>eps do 58 begin 59 mid:=(l+r)/2; 60 if 2*k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid 61 else l:=mid; 62 end; 63 ans:=ans+s[i]/l; 64 end; 65 writeln(ans:0:8); 66 end; 67 68 begin 69 main; 70 end.
我是sb....TAT，double没有错，是我错了，能量足够是要往小调，v不合法是要往大调所以是if v<eps then exit(true);
1 const 2 maxn=10010; 3 eps=1e-12; 4 inf=1e6; 5 var 6 s,k,v:array[0..maxn]of double; 7 n,cnt:longint; 8 all,ans:double; 9 10 function flag(x:double):boolean; 11 var 12 i:longint; 13 l,r,mid,a:double; 14 begin 15 a:=all; 16 for i:=1 to n do 17 begin 18 l:=v[i];r:=inf; 19 while abs(l-r)>eps do 20 begin 21 mid:=(l+r)/2; 22 if 2*k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid 23 else l:=mid; 24 end; 25 if l<eps then exit(true); 26 a:=a-s[i]*k[i]*sqr(l-v[i]); 27 if a<0 then exit(false); 28 end; 29 exit(true); 30 end; 31 32 procedure main; 33 var 34 l,r,mid,x:double; 35 i:longint; 36 begin 37 read(n,all); 38 for i:=1 to n do 39 begin 40 inc(cnt); 41 read(s[cnt],k[cnt],v[cnt]); 42 if s[cnt]=0 then dec(cnt); 43 end; 44 n:=cnt; 45 l:=0;r:=inf; 46 while abs(l-r)>eps do 47 begin 48 mid:=(l+r)/2; 49 if flag(mid) then l:=mid 50 else r:=mid; 51 end; 52 x:=l; 53 for i:=1 to n do 54 begin 55 l:=v[i];r:=inf; 56 while abs(l-r)>eps do 57 begin 58 mid:=(l+r)/2; 59 if 2*k[i]*(mid-v[i])*sqr(mid)>x then r:=mid 60 else l:=mid; 61 end; 62 ans:=ans+s[i]/l; 63 end; 64 writeln(ans:0:8); 65 end; 66 67 begin 68 main; 69 end.
