IOI 2024 Day2 T1 象形文字序列

首先考虑保证有解的情况，目标是找到一组可能的解，不需要 check。

如果一种字符在 \(a\) 中出现 \(x\) 次，在 \(b\) 中出现 \(y\) 次，那么在解 \(c\) 中需要出现 \(\min(x, y)\) 次。

将出现次数较少的一侧的元素标记为关键位，我们要将所有关键位在另一个序列中找到匹配，且匹配两两不交。

考虑两个序列中的第一个关键位 \(a_{i}\) 和 \(b_{j}\)，接下来分类讨论：

如果它们相等，直接匹配即可。

否则，如果 \(a_{i}\) 在 \(b_{1 \dots j-1}\) 中没有出现，则 \(b_{j}\) 需要匹配 \(a_{1 \dots i-1}\) 中的某个字符，可以匹配然后递归；对于另一边同理。

剩下的情况是 \(a_{i}\) 在 \(b_{1 \dots j-1}\) 中出现且 \(b_{j}\) 在 \(a_{1 \dots i-1}\) 中出现。

如果 \(a_{i+1 \dots n}\) 中 \(b_{j}\) 的出现次数小于 \(b_{j \dots m}\) 中 \(b_{j}\) 的出现次数，则 \(a_{i}\) 不能匹配 \(b_{1 \dots j-1}\) 中的字符，可以直接将 \(b_{j}\) 匹配掉然后递归。对于另一边同理。

剩下的情况可以说明其无解。

考虑 \(n, m \leq 3000\) 的部分分，下面我们要 check \(c\) 的正确性。

我们现在想要构造一个 \(S\)，使得 \(S\) 不是 \(c\) 的子序列，但为 \(a,b\) 的子序列。

假设求出了 \(c_{1 \dots i}\) 在 \(a,b\) 中的匹配位置为 \(pa_{i}, pb_{i}\)。

依次加入字符，维护 \(a,b,c\) 上分别匹配到了 \(a_{1 \dots i}, b_{1 \dots j}, c_{1 \dots k}\)。我们现在想让 \(a,b\) 上匹配，\(c\) 上失配。

如果 \(i < pa_{k}\) 且 \(j < pb_{k}\)，则加入 \(c_{k \dots}\)，就能构造无解。

可以说明只有在某次走到 \(i < pa_{k}\) 且 \(j < pb_{k}\) 时，才能构造无解。

于是我们可以考虑 DP 计算 \(i = pa_{k}\) 时最小的 \(j\)，设为 \(f_{k}\)。可以暴力枚举 \(i\) 的上一个转移的位置，然后二分出新的匹配位置，在转移过程中可以判定有没有 \(i < pa_{k}\) 且 \(j < pb_{k}\) 的情况。

对于 \(j = pb_{k}\) 时最小的 \(i\)，将 \(a,b\) 交换做一遍即可。

时间复杂度 \(O(n^2 \log n)\)。

考虑优化时间复杂度。

对于可转移到 \(i\) 前的一个点，可分为两个区间，一个满足走一步后 \(i = pa_{k}\)，另一个满足走一步后 \(i < pa_{k}\)。区间的端点可以二分得到。

用线段树维护 \(f\) 的区间最小值，对于两个区间，前一个可以转移到 \(f_{k}\)，后一个可以用于判定无解。

设 \(n,m\) 同阶，时间复杂度 \(O(n \log n)\)，期望得分 100。

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