kmp & Border 相关

kmp & Border 相关

写在前面

一直想写一个 Border 相关的文章。

网上 kmp 相关的文章都好唐啊，全是半懂不懂的人在随机说话。符号系统混乱，逻辑错误百出，还没有任何深刻的理解。

忍不了一点。

感觉越基础的算法越难自学，因为网络上基础算法的 blog 质量都比较差。高水平选手不屑于写这些基础算法的 blog，而低水平选手写出来的 blog 往往质量很差。

记号 & 约定

• \(S\) 的长度为 \(\left\lvert S \right\rvert\)

• \(S[i]\) 为 \(S\) 的第 \(i\) 个字符

• \(S[l \ldots r]\) 为由 \(S\) 的第 \(l\) 个字符到第 \(r\) 个字符组成的字串。

• \(S[1 \ldots k]\) 称为 \(S\) 的长为 \(k\) 的前缀，简写为 \(\operatorname{pre}_S(k)\)。 在意义明确的情况下，可简写为 \(\operatorname{pre}(k)\)

• \(S[\left\lvert S \right\rvert - k + 1, \left\lvert S \right\rvert]\) 称为 \(S\) 的长为 \(k\) 的后缀，简写为 \(\operatorname{suf}_S(k)\) 或 \(\operatorname{suf}(k)\)

定义和简单性质

对于字符串 \(S\)，若 \(k\) 满足 \(\operatorname{pre}(k)\) 与 \(\operatorname{suf}(k)\) 相等，则称 \(\operatorname{pre}(k)\) 为 \(S\) 的一个长为 \(k\) 的 \(\operatorname{Border}\)。显然 \(\left\lvert S \right\rvert\) 是极大的 \(\operatorname{Border}\)，不过她实在太平凡了，下面我们讨论的都是除去她的“真 \(\operatorname{Border}\) ”

记 \(\operatorname{Border}\) 的集合 \(\operatorname{Border}(S) = \{k | k \neq \left\lvert S \right\rvert, \operatorname{pre}_S(k) = \operatorname{suf}_S(k) \}\)。

一个重要的性质：

\(\operatorname{Border}\) 的 \(\operatorname{Border}\) 还是 \(\operatorname{Border}\)。

取 \(p, q \in \operatorname{Border}(S)\)，不妨设 \(p < q\)。

记 \(\operatorname{pre}_S(p) = \operatorname{suf}_S(p) = P\)，\(\operatorname{pre}_S(q) = \operatorname{suf}_S(q) = Q\)。

由于 \(p < q\)，则 \(\operatorname{pre}_S(p)\) 为 \(\operatorname{pre}_S(q)\) 的前缀，即 \(P\) 为 \(Q\) 的前缀。

同理，\(\operatorname{suf}_S(p)\) 为 \(\operatorname{suf}_S(q)\) 的后缀，即 \(P\) 为 \(Q\) 的后缀。

综上，\(P\) 既是 \(Q\) 的前缀，又是 \(Q\) 的后缀，即 \(P\) 为 \(Q\) 的一个 \(\operatorname{Border}\)，\(p \in \operatorname{Border}(Q)\)。

预处理

考虑如何求出 \(S\) 的所有 \(\operatorname{Border}\)。

不妨设 \(\pi(S)\) 为 \(\operatorname{Border}(S)\) 中的极大元。

则对 \(\forall p \in \operatorname{Border}(S)\) 且 \(p \neq \pi(S)\)，\(p\) 都是 \(\operatorname{pre}(\pi(S))\) 的 \(\operatorname{Border}\)。

注意到，我们把现在把求 \(S\) 的 \(\operatorname{Border}\) 转化为了求 \(S\) 的长度为 \(pi(S)\) 的前缀的 \(\operatorname{Border}\)。

对于每一个前缀，如果我们都知道她的 \(\pi\) 函数值，获得所有的 \(\operatorname{Border}\) 将是轻松的。

考虑增量构建。显然 \(\pi_1 = 0\)。

设已知 \(\pi_{1 \ldots k}\) 的值，新加入的字符 \(S_{k + 1}\) 为 \(c\)。

那么相较于 \(\operatorname{pre}(k)\)，\(\operatorname{pre}(k + 1)\) 中的每个后缀都增加了 \(c\)。因此如果 \(pre(k)\) 的一个长为 \(p\) 的 \(\operatorname{Border}\) 满足 \(S_{p + 1} = c\)，则 \(p\) 也是 \(\operatorname{pre(k + 1)}\) 的 \(\operatorname{Border}\)。

那么一个 trivial 的实现方法就是暴力遍历 \(\operatorname{pre}(k)\) 的所有 \(\operatorname{Border}\)，然后找到满足上述条件的最大 \(p\)，此时有 \(\pi_{k + 1} = p\)。

同时，按照每次取出 \(\operatorname{Border}\) 中的极大元的方法遍历的 \(\operatorname{Border}\) 是从大到小的，第一次遍历的到合法的 \(p\) 就恰好是 \(\pi_{k + 1}\) 的值。

复杂度分析

考虑一个势能函数 \(\varphi\)，当前尝试匹配的位置。

匹配上合法的一个 \(p\) 能够使得 \(\varphi\) 变大 \(1\)，称这种操作为 \(A\) 操作。

不能够匹配合法的 \(p\) 会使得 \(\varphi\) 变小，称这种操作为 \(B\) 操作。

显然在全过程中 \(\varphi\) 始终非负，因而 \(T(B) \leq T(B)\), 即使 \(\varphi\) 变小的总次数不超过使 \(\varphi\) 变大 \(1\) 的次数。

又因为每次操作都为 \(O(1)\)，\(T(A) = O(n)\), 所以 \(T(A + B) = T(A) + T(B) = O(n)\)。

代码实现

inline std::vector<int> get_pi(const std::string &s) {
    std::vector<int> pi(s.length());

    rep (i, 2, (int) s.length() - 1) {
        int j = pi[i - 1];
        while (j and s[j + 1] != s[i]) j = pi[j];
        if (s[j + 1] == s[i]) j++;
        pi[i] = j;
    }

    return pi;
}

*\(\operatorname{Border}\) 的结构

前文提到，

\(\operatorname{Border}\) 的 \(\operatorname{Border}\) 还是 \(\operatorname{Border}\)。

这样的性质使得 \(\operatorname{Border}\) 的结构是树状的。在算法竞赛中，这棵树被称作 \(\operatorname{fail}\) 树。

具体地，连边 \(k \to \pi_k\)。在这样得到的结构中，从 \(k\) 到根 \(0\) 的路径恰好为 \(\operatorname{pre}_S(k)\) 的所有 \(\operatorname{Border}\)。

这启示我们和 \(\operatorname{Border}\) 相关的统计可以转化为树上路径统计。