杂题选做

2024.12.?

你有 \(100 \times 100\) 的格子和 \(2023\) 个挡板。合理设置挡板使得从方格左上角走到右下角的最短路径最长（走路时不可以穿过挡板）。

2025.3.31

从去年省集 slides 里找到的题

一个 \(n\) 的有序划分定义为有序数组 \((a_1, a_2, \ldots a_k)\) 使得 \(\sum a_i = n\)。

求 \(n\) 的含偶数个偶数的划分的数量。

sol

\(2 ^ {n - 2}\)

这个有点太牛了。

考虑求含奇数个偶数的划分的数量。

发现好像是等难的。

所以直接由对称性猜他们相等

尝试构造 无不动点对合

定义一个操作 \(f\) 为，对于任意一个划分，若第一项为 \(1\)，则把第一项和第二项合并起来，否则把第一项拆成 \(1\) 和第一项减 \(1\)

发现 \(f ^ {-1} = f\)，我们称这样的映射为 对合

同时发现，我们刚刚构造的 \(f\) 是没有不动点的。

因此 \(f\) 相当于把原状态空间中的点两两配对，并且配对中的两个点恰好含偶数的个数的奇偶性不同。

显然有含偶数个偶数的划分和含奇数个偶数的划分的数量相同。

2025.4.1

求 \(\sum\limits_{k = 1} ^ {m} { {m + k} \choose {m} } 2 ^ { -k}\)

sol

组合意义天地灭，代数推导保平安。

sly 给出了一个代数做法，挺可爱的。

但是这个的组合意义证明真的非常牛！

首先注意到这个 \(2 ^ {-k}\) 不太好找组合意义，不妨给她乘上 \(2 ^ m\)，变为 \(2 ^ {m - k}\)，最后除掉即可。

2025.4.3

给出 \(\sum\limits_{k = 1} ^ {n} { {n} \choose {k} (-1) ^ k } = 0\) 的组合意义证明。

sol

考虑原式等于 \(\sum\limits_{T \subseteq S} (-1) ^ {\left\lvert T \right\rvert}\)

发现原问题等价于证明 \(S\) 中大小为奇数和大小为偶数的子集数量相等。

trivial

这个也可以构造无不动点对合。

考虑每个集合 \(T\)，定义映射 \(f\) 为：若 \(1 \in T\)，则把 \(1\) 去掉，否则把 \(1\) 加入进去。

容易发现这个也是无不动点对合。

可爱捏。

upd 2025.5.15

bonus: 有集合 \(S = \{1, 2, 3, \ldots, n\}\)，求 \(\sum\limits_{T \subseteq S} (-1) ^ {\sum\limits_{x \in T} x}\)

组合证法焕发魅力。

先前我希望找到 \(\sum {n \choose k} (-1) ^ k = 0\) 的组合意义证法的时候，大家都骂我唐。

那个这好像只能组合证明了。

证明过程几乎是完全一样的，因为加入 \(1\) 也会恰好改变和的奇偶性。

2025.4.?

构造。

点数为 \(n\) 的完全图，求最多有多少个边不相交的生成树。

去年的我为啥不会这个？

为什么 xhr 都能场切的题我都不会？？？

先考虑解出一个上界。

发现答案 \(k \leq \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor\)

因为每棵生成树要消耗 \(n - 1\) 条边，总的边数为 \({n \choose 2} = \frac{n(n - 1)}{2}\)

考虑归纳，\(n = 2\) 时的情况是显然的。那么仅需证明每次加入两个元素后能够增加一棵生成树。

首先，增加两个点 \((u, v)\) 后增加的边为原先所有点到 \(u\) 的边以及原先

2024.4.13

不等式。

已知 \(a, b, c \in \R_{+}\) 且 \(abc \leq 1\)

2025.4.14

已知 \(f_1 = 1\) 且 \(f_n = f_{n - 1} + f_{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }\)

证明有无限个 \(k\) 使得 \(f_k \equiv 0 \pmod 7\)

2025.4.16

可爱奶龙。

\(n \times n\) 的网格上放有箭头。

只能沿着当前网格上放置的箭头移动。

每次移动后，所有的箭头将会顺时针转动 \(90 \degree\)。

定义一个格子是好的，当且仅当从她出发后能够经过所有点恰好一次，并且回到这个格子。

求怎样使好的格子最多？

2025.4.18

构造 (?)

证明大小为 \(n\) 的集合的所有子集一定可以排成一行，使得任意相邻的两项大小相差 \(1\)。

感觉像 “所有子集”，“完全图”，“链” 这样的组合结构特别适合归纳。因为新加入的元素的贡献是容易统计的(?)

2025.5.?

你有 \(2n\)