基本技巧——分数规划 学习笔记

基本技巧——分数规划 学习笔记

引入

分数规划用来求一个分式的极值。

具体的，给定 \(n\) 个元素，每个元素有属性 \(a_i,b_i\)，求一个集合 \(P\in[1,n]\)，最大／最小化比率：$$\dfrac{\sum_{i\in P}a_i}{\sum_{i\in P}b_i}$$

求解

二分法

假设我们要求最大值（求最小值的方法和求最大值的方法类似），二分一个 \(\text{mid}\)，然后推式子（省略范围）：

$\begin{array}{ll} &\sum a_i/\sum b_i\ge\text{mid}\\ \Longrightarrow&\sum a_i\ge\sum b_i\times\text{mid}\\ \Longrightarrow&\sum a_i-\sum b_i\times\text{mid}\ge0\\ \Longrightarrow&\sum (a_i-b_i\times\text{mid})\ge0 \end{array}$

设 \(g(x)=\sum(a_i-b_i\times x)\)，则原问题其实就是最大化 \(g(x)\)。可以用二分求解：二分一个 \(\text{mid}\)，如果 \(g(\text{mid})\ge0\)，则说明可行；否则就是不可行。

实际求解的时候一般是，如果 \(g(\text{mid})>0\)，那么就 \(l\leftarrow\text{mid}+1\)，否则 \(r\leftarrow\text{mid}\)。

在题目中，一般来说，分数规划的难点在于求解 \(g(x)\) 的最大／最小值。

模型

01 分数规划

题目：POJ2976 Dropping tests

题意：在 \(n\) 个物品中选取 \(k\) 个，使得比率最大。

分析：二分最大的比率为 \(\text{mid}\)，最大化 \(g(\text{mid})=\sum(a_i-b_i\times\text{mid})\)；可以贪心来考虑，将 \(a_i-b_i\times\text{mid}\) 视为物品的权值，将权值前 \(k\) 大的数加起来，即 \(g(\text{mid})\)；如果 \(g(\text{mid})>0\)，则 \(l\leftarrow\text{mid}+1\)，否则 \(r\leftarrow\text{mid}\)。

变式：选取若干个，最大化比率。贪心考虑，只取所有权值为正的物品，其余同上。

代码：

using db = double;
const db eps = 1e-6;
int n, k, a[1010], b[1010];
db c[1010];
inline bool cmp(const db a, const db b) {
    return a > b;
} bool check(const db x) {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) c[i] = a[i] - b[i] * x;
    sort(c + 1, c + n + 1, cmp); db s = 0;
    for (int i = 1; i <= n - k; ++i) s += c[i];
    return s > 0;
} signed main() {
    while (1) {
        n = rr, k = rr; if (!n && !k) break;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = rr;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) b[i] = rr;
        db l = 0, r = 100, mid; while (r - l > eps) {
            mid = (l + r) / 2;
            if (check(mid)) l = mid;
            else r = mid;
        } printf("%d\n", int(mid * 100 + 0.5));
    } return 0;
}

最优比率生成树

题目：POJ2728 Desert King

题意：给定一棵图，每条边有两个权值 \(a_i,b_i\)，求一棵生成树，使得 \(\dfrac{\sum_{e\in T}a_e}{\sum_{e\in T}b_e}\) 最小。

分析：与上一题很类似，把 \(a_i-b_i\times\text{mid}\) 作为每条边的权值，那么这个图的最小生成树就是 \(f(\text{mid})\) 最小值

代码：略。

最优比率生成环

题目：P3199 最小圈、P1768 天路

题意：给定一个图，每条边有价值 \(v_i\) 和费用 \(p_i\)，求一个环，使得总价值与总费用的比值最小。

分析：我们二分一个答案 \(\text{mid}\)，如果存在一个环，满足 \(\sum v/\sum p\ge\text{mid}\)，那么移项一下就有 \(\sum v\ge\text{mid}\times\sum p\)，就有 \(\sum v\ge\sum(\text{mid}\times p)\)，也即存在一个环满足 \(\sum(\text{mid}\times p-v)\le0\)，也就是把 \(\text{mid}\times p-v\) 作为新的边权，要判断图中是否存在负环。找负环可以用 SPFA 的 DFS 版本。

代码：

int SPFA(int u, double mid) {    // 判负环
    vis[u] = 1; for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
        int v = e[i].v; double w = e[i].w - mid;
        if (dis[u] + w < dis[v]) {
            dis[v] = dis[u] + w; if (vis[v] || SPFA(v, mid)) return 1;
        }
    } vis[u] = 0; return 0;
} bool check(double mid) {       // 如果有负环返回 true
    for (int i = 1; i <= n; ++i) dis[i] = 0, vis[i] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) if (SPFA(i, mid)) return 1;
    return 0;
}

应用

例题

题目：AT_abc324_f Beautiful Path（考前打比赛遇到的）。

题意：给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的有向图，保证 \(\forall i\in[1,n]:u_i<v_i\)。每条边有价值 \(b_i\) 和费用 \(c_i\)，找一条路径 \(1\rightarrow n\)，最大化 \(\sum b_i/\sum c_i\)。

分析：二分一个答案 \(\text{ans}\)，则有 \(\sum b_i/\sum c_i\ge\text{ans}\longrightarrow\sum b_i\ge\text{ans}\times\sum c_i\longrightarrow\sum b_i-\text{ans}\times\sum c_i\ge0\longrightarrow\sum(b_i-\text{ans}\times c_i)\ge0\)，因此，以 \(b_i-\text{ans}\times c_i\) 为边权建图跑最短路即可。

代码：

const int N = 2e5 + 10;
const db eps = 1e-10, db INF = 1e18;
int n, m; struct node {
    int v, b, c;
}; vector<node> g[N];
db f[N]; bool check(db x) {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) f[i] = -INF;
    f[1] = 0; for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (node j : g[i]) f[j.v] = max(f[j.v], f[i] + j.b - j.c * x);
    return f[n] > 0;
} signed main() {
    n = rr, m = rr;
    for (int i = 1, u, v, b, c; i <= m; ++i) {
        u = rr, v = rr, b = rr, c = rr;
        g[u].push_back({v, b, c});
    } db l = 0, r = 1e4; while (r - l > eps) {
        db mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid;
    } printf("%.15lf", l);
    return 0;
}

练习题

见：https://www.luogu.com.cn/training/400462

Reference

[1] https://oi-wiki.org/misc/frac-programming/
[2] https://www.cnblogs.com/captain1/p/9929128.html