线性代数——平面向量 学习笔记

线性代数——平面向量 学习笔记

首发于洛谷。

定义及用语说明

无特殊说明，下文的向量均指自由向量且是平面向量。

向量，英文名为 vector，目前没有准确而统一的中文翻译。

在物理学科，一般翻译成「矢量」，且与「标量」一词相对。

在数学学科，一般直接翻译成「向量」。对于向量的乘法：

物理	数学	直译	俗称
标量积	数量积	内积	点积
矢量积	向量积	外积	叉积

物理和数学上的用语采用了意译的方法，分别表示运算的结果为标量和矢量。

在数学学科，通常也可以翻译成「内积」和「外积」，是两个名词的直译。

而「点积」和「叉积」是根据运算符号得来的俗称，这种俗称也很常见。

本文采用「点积」和「叉积」的表达方法，大概因为作者读过一篇不大正统的文章。

在数学学科，一般没有说明的话，或者省略了运算符，向量的乘法默认为点积，即标量积。

说了这么多，其实，对于平面向量，只存在点积而不存在差积（x）

在考虑三维向量（或高维向量）之前，只需要考虑点积就可以了。

定义和基本符号

一、有向线段

带有方向的线段称为有向线段。有向线段的三要素为：起点、方向、长度。

根据初等几何，那么只要知道这三要素，这个有向线段就已经被确定了，也就是终点可知。

从另一个角度思考，也可以认为是知道起点、重点，就可以唯一的确定一个有向线段。

一个有向线段由其两个端点表示，记为 \(\overrightarrow{AB}\) 或 \(\vec{a}\)，同时我们记其长度，称为向量的模。

二、向量

既有大小又有方向的量称为向量。这个定义很抽象，我们逐个分解。

我们已经有了有向线段，但是实际应用中，大部分时候，向量的位置并不重要。

于是我们将有向线段的起点不固定，将一个有向线段抽象为一个可以随意移动的量。

此时，你也许发现了。有向线段其实可以再次表示为，起点和一个向量。

我们通常把向量表示在平面直角坐标系内，没有说明的情况下，起点通常标在坐标轴原点。

我们取这个向量在横、纵坐标上延伸的长度作为两个元素，将向量记为 \((a,b)\)。

那么我们就得出了向量的几何意义，即向量 \((a,b)\) 表示向右走 \(a\)、向上走 \(b\) 的位移。

三、向量的模

对于一个向量 \(\vec a\)，有向线段
\(\vec a\) 的长度称为向量的模，即为这个向量的大小。

符号表示为 \(|\vec a|\) 或 \(|\overrightarrow{AB}|\) ，根据勾股定理，我们知道 \(|\vec a|=|(x,y)|=\sqrt{x^2+y^2}\)。

四、特殊的向量

零向量：模为 \(0\) 的向量，零向量的方向任意（不过其实是无意义）。一般记为：\(\vec 0\)。

单位向量：模为 \(1\) 的向量称为单位向量。一般记为 \(\vec e\)，最常见的单位向量就是基向量。

基向量：\(\vec\imath=(1,0)\) 表示 \(x\) 方向的单位向量，\(\vec\jmath=(0,1)\) 表示 \(y\) 方向的单位向量。

平行向量：方向相同或相反的两个非零向量。记作： \(\vec x\parallel \vec y\)。

共线向量：任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量又叫共线向量。

相等向量：模相等且方向相同的向量。相反向量：模相等且方向相反的向量。

向量的运算

一、向量的数乘

我们规定实数 \(\lambda\) 与向量 \(\vec a\) 的积为一个向量，称为向量的数乘运算，记作 \(\lambda\vec a\)。

我们定义 \(\lambda\vec a=\lambda(x,y)=(\lambda x,\lambda y)\)。据此，我们可以得出以下向量数乘常用的结论：

• \(|\lambda \vec a|=|\lambda||\vec a|\)；
• 当 \(\lambda >0\) 时，\(\lambda\vec a\) 与 \(\vec a\) 同向；
• 当 \(\lambda =0\) 时，\(\lambda \vec a=\vec 0\)；
• 当 \(\lambda<0\) 时，\(\lambda \vec a\) 与 \(\vec a\) 方向相反。

根据数乘的定义，可以得出向量的数乘满足交换律、结合律、分配率等。

二、向量的线性运算

注意，向量的数乘本质上也属于向量的线性运算，不过我把他们分开，方便理解。

下面讨论向量的加法，类比的，向量的减法可以从公式入手理解。

类比物理中的位移，从 \(A\) 经 \(B\) 到 \(C\)，那么经过的位移等价于直接从 \(A\) 到 \(C\)。

符号表示即：\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)，其实这个也就是三角形法则所表述的。

同时，注意到力的合成法则（平行四边形法则），同样也可以看做向量的相加。

因此，我们得出向量相加的两个运算法则，即三角形法则、平行四边形法则：

• 三角形法则：首尾顺次相连，和为从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；
• 平行四边形法则：向量共起点，和为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，
  起点为两个向量共有的起点，方向沿平行四边形对角线方向。

这样，向量的加法就具有了几何意义。并且向量的加法满足交换律与结合律。

然后从几何的角度可以推出一些公式，其中三角形法则的公式比较简单，如下：

\[(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2) \]

向量的点积

点积的概念对于任意维数的向量都适用。

已知两个向量 \(\vec a,\vec b\) ，它们的夹角为 \(\theta\)，那么这两个向量的点积为：

\[\vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos \theta \]

其中，我们称 \(|\vec a|\cos \theta\) 为 \(\vec a\) 在 \(\vec b\) 方向上的投影。

点积的几何意义即为：点积 \(\vec a \cdot \vec b\) 等于 \(\vec a\) 的模与 \(\vec b\) 在 \(\vec a\) 方向上的投影的乘积。

另外，我们定义向量点积数值上表示为（简记为先相乘再相加）：

\[(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=x_1x_2+y_1y_2 \]

可以发现，这种运算得到的结果是一个标量，并不属于向量的线性运算。

在不引起混淆的情况下，点积的点号可以省略不写。

互相垂直的两个向量的点积，结果为 \(0\)。向量与零向量点积，结果为 \(0\)。

常见方法

一、判定两向量垂直

根据 \(\cos 90^\circ=0\)，\(\vec a \perp \vec b \iff \vec a\cdot \vec b=0\)

二、判定两向量共线

两个非零向量 \(\vec a\) 与 \(\vec b\) 共线，等价于，有唯一实数 \(\lambda\)，使得 \(\vec b=\lambda \vec a\)。

由数乘的定义知，对于非零向量 \(\vec a\)，如果存在实数 \(\lambda\)，使得 \(\vec b=\lambda \vec a\)，那么 \(\vec a \parallel \vec b\)。

数值上，有判别式 \(\vec a = \lambda \vec b \iff |\vec a\cdot \vec b|=|\vec a||\vec b|\)。

三、向量的坐标表示

已知两点 \(A(a,b),B(c,d)\)，易证
\(\overrightarrow{AB}=(c-a,d-b)\)。

四、两向量的夹角

根据 \(\vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos \theta\)，得两向量的夹角为：

\[\cos \theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|} \]

根据 \(\vec a\cdot\vec b=(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=x_1x_2+y_1y_2\)，及 \(|\vec x|=|(a,b)|=\sqrt{a^2+b^2}\) 得：

\[\cos \theta=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{({x_1}^2+{y_1}^2)({x_2}^2+{y_2}^2)}} \]

Reference

[1] https://oi-wiki.org/math/linear-algebra/vector/
[2] https://oi-wiki.org/math/linear-algebra/product/