线性基
整理一下线性基的题
HDU 5544
题意
给一个有边权的无向图，找一条闭合路径，使路径上权值异或和最大
题解
Hint1 如果这个图是一棵树？
Hint2 环之间相互独立？
对图进行一遍DFS，把所有找到的环插入线性基，再求最大值即可
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
#define N 500010
typedef long long LL;
vector< pair<int, LL> > G[N];
int T, n, m, u, v, cas, vis[N];
LL xorsum[N], p[N], w;
void insert(LL x) {
for (int i = 62; i >= 0; i --) if ((x >> i) & 1) {
if ( p[i] ) {
x ^= p[i];
} else {
p[i] = x;
break;
}
}
}
void dfs(int u)
{
vis[u] = 1;
for (int i=0;i<G[u].size();i++)
{
int v = G[u][i].first;
if (vis[v] == 1) {
insert(xorsum[u] ^ G[u][i].second ^ xorsum[v]);
} else {
xorsum[v] = xorsum[u] ^ G[u][i].second;
dfs(v);
}
}
}
int main() {
scanf("%d", &T);
while (T --) {
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 0; i <= n; i ++)
G[i].clear(), xorsum[i] = 0, vis[i] = 0;
for (int i = 0; i <= 62; i ++)
p[i] = 0;
for (int i = 1; i <= m; i ++) {
scanf("%d %d %lld", &u, &v, &w);
G[u].push_back(make_pair(v, w));
G[v].push_back(make_pair(u, w));
}
dfs(1);
LL ans = 0;
for (int i = 62; i >= 0; i --) if ((p[i] ^ ans) > ans)
ans ^= p[i];
printf("Case #%d: %lld\n", ++ cas, ans);
}
}
WannaFly 挑战赛1 E
题意
给定一个无向简单图(即无重边无自环). 每条边都有一个权值. 这个图的一个鸽, 指的是将它的点集划分为两个不重不漏的集合S和T. 这个鸽的权值, 是所有两个端点分别属于S和T的边的权值的异或和(即, S内部的边和T内部的边都不算). 现在问这个图的鸽的所有可能权值的和是多少. 由于这个数很大, 只需要输出前9位, 不足9位则全部输出.
题解
每个划分方式对应一个二分图。辣么我们枚举所有的二分图。
把每个点的点权设为：与该点先连的边的权值异或和。然后把这些点权插入线性基即可。
考虑每个点取还是不取的同时，二分图就被枚举了。
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define N 5000000
int n, m, u, v;
LL w, a[N], p[N];
void ins(LL x) {
for (int i = 40; i >= 0; i --) if ((x >> i) & 1){
if (!p[i]) {
p[i] = x; break;
} else {
x ^= p[i];
}
}
}
int main() {
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= m; i ++) {
scanf("%d %d %lld", &u, &v, &w);
a[u] ^= w; a[v] ^= w;
}
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
ins(a[i]);
}
LL ans = 0, cnt = 0;
for (int i = 0; i <= 40; i ++) if (p[i]) cnt ++;
for (int i = 0; i <= 40; i ++)
for (int j = 0; j <= i-1; j ++)
p[i] ^= (p[i] & p[j]);
for (int i = 0; i <= 40; i ++) {
ans = ans + p[i] * (1LL << (cnt - 1));
}
while (ans >= 1000000000) ans /= 10;
printf("%lld\n", ans);
}
高斯消元版本
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100000+10;
int n, m, a[N], u, v, w;//0-index
int bit[32];
int main() {
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i=1;i<=m;i++) {
scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
a[--u] ^= w, a[--v] ^= w;
}
int q = 0;
for (int j = 31; j >= 0; j --)
for (int i = q; i < n; i ++)
if ((a[i] >> j) & 1) {
swap(a[i], a[q]);
bit[q ++] = (1 << j);
for (int k = q; k < n; k ++) {
if (a[k] & bit[q-1])
a[k] ^= a[q-1];
}
}
for (int i = q-1; i >= 0; i --)
for (int j = i-1; j >= 0; j --)
a[j] ^= (a[j]&a[i]);
LL ans = 0;
for (int i = 0; i < q; ++i)
{
ans += (1LL << (q - 1)) * a[i];
}
while (ans > 999999999) {
ans /= 10;
}
printf("%lld\n", ans);
}
TopCoder - 12197
高斯消元后贪心凑最大。注意到：若两向量组张成的空间相同，则为等价。
LL maxSum(vector<LL> a) {
n = a.size();
int q = 0;
for (int j=60;j>=0;j--)
for (int i=q;i<n;i++)
if ((a[i]>>j)&1) {
swap(a[i], a[q]);
bit[q ++] = (1LL<<j);
for (int k=q;k<n;k++)
if (a[k]&(1LL<<j)) a[k]^=a[q-1];
}
for (int i=q-1;i>=0;i--)
for (int j=i-1;j>=0;j--)
if (a[j] & bit[i]) a[j] ^= a[i];
for (int i=1;i<q;i++)
a[0] ^= a[i];
for (int i=1;i<n;i++)
a[i] ^= a[0];
LL ans = 0;
for (int i=0;i<n;i++)
ans += a[i];
return ans;
}
