5.1.2勒让德多项式

勒让德方程

\[\begin{cases} (1-x^2)\frac{d^2y(x)}{dx^2}-2x\frac{dy(x)}{dx}+l(l+1)y(x)=0, \quad -1 \leq x \leq 1 \\ |y(x)| < \infty, \quad -1 \leq x \leq 1 \end{cases}\]

\[y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n \qquad a_{k+2} = \frac{(k-l)(k+l+1)}{(k+1)(k+2)}a_k \]

\[y(x) = a_0y_0(x) + a_1y_1(x) \qquad \text{收敛半径} \quad R = 1 \]

如何使 \(y(x)\) 在边界处也满足收敛性条件？\(\longrightarrow\) 将其自然地截断为多项式！

对 \(l\) 的取值作出限制并适当选取待定系数：

\(l\) 为偶数 \(\quad a_{l+2} = 0 \quad y_0(x)\) 自然地截断为多项式 \(\quad y(x)\) 截断为最高幂次为 \(l\) 次的多项式
\(使\quad a_1 = 0 \quad\) 去掉依然发散的 \(y_1(x)\) \(\quad\)

\(l\) 为奇数 \(\quad a_{l+2} = 0 \quad y_1(x)\) 自然地截断为多项式 \(\quad y(x)\) 截断为最高幂次为 \(l\) 次的多项式
\(使\quad a_0 = 0 \quad\) 去掉依然发散的 \(y_0(x)\) \(\quad\)

令 \(a_l = \frac{(2l)!}{2^l(l!)^2}\) 则

\[\quad y(x) \longrightarrow P_l(x) = \sum_{k=0}^N \frac{(-1)^k(2l-2k)!}{2^lk!(l-k)!(l-2k)!}x^{l-2k} \quad \text{$l$-阶勒让德多项式} \]

\(\qquad N = \begin{cases} \frac{l}{2}, & l \text{ is even} \\ \frac{l-1}{2}, & l \text{ is odd} \end{cases}\)

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其本质上为解刘维尔本征值问题

\[\begin{cases} (1-x^2)\frac{d^2y(x)}{dx^2}-2x\frac{dy(x)}{dx}+l(l+1)y(x)=0, \quad -1 \leq x \leq 1 \\ |y(x)| < \infty, \quad -1 \leq x \leq 1 \end{cases}\]

本征值 \(\quad l = 0, 1, 2, \cdots, \quad\) 本征函数 \(\quad y_l(x) = P_l(x)\)

常用低阶勒让德多项式

\(P_0(x) = 1, \quad P_1(x) = x,\)

\(P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1), \quad P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x),\)

\(P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3),\)

\(x \equiv \cos \theta\)

\(P_0(\cos \theta) = 1, \quad P_1(\cos \theta) = \cos \theta,\)

\(P_2(\cos \theta) = \frac{1}{2}(3\cos^2 \theta - 1) = \frac{1}{2}(2 - 3\sin^2 \theta) = \frac{1}{4}(3 \cos 2\theta + 1),\)

\(P_3(\cos \theta) = \frac{1}{2}(5\cos^3 \theta - 3\cos \theta) = \frac{1}{8}(5\cos 3\theta + 3\cos \theta), \quad \cdots\)