P2012-拯救世界2【EGF】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P2012

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题目大意

\(12\)种东西排列成长度为\(n\)的序列，要求前四种出现奇数次，后四种出现偶数次，求方案。\(T\)组数据，对\(10^9\)取模。

\(1\leq n< 2^{63},1\leq T\leq 2\times 10^5\)

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解题思路

显然是\(EGF\)，没有限制的话就是\(e^x\)，奇数就是\(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)，偶数就是\(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\)，这些都是老生常谈了。

然后答案就是

\[n!\times (\frac{e^x-e^{-x}}{2})^4(\frac{e^x+e^{-x}}{2})^4(e^{x})^4 \]

然后解出来就是

\[F(x)=n!\times \frac{1}{256}\times(e^{12x}-4e^{8x}+6e^{4x}-4+e^{-4x}) \]

\[\Rightarrow F(x)[n]=\frac{1}{256}\times(12^n-4\times 8^n+6\times 4^{n}-4+(-4)^n) \]

然后发现\(256\)没有逆元，但是因为这些底数都含有\(256\)的因数\(2\)所以

\[=81\times 12^{n-4}-8^{n-2}+6\times 4^{n}-4+(-4)^{n-4} \]

小的直接处理就好了

然后发现这样还是过不了，那就用扩展欧拉定理模上一个\(\varphi(10^9)=4\times 10^8\)然后根号分治预处理一下光速幂就可以过了。

时间复杂度\(O(20000+T)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#define ll long long
using namespace std;
const ll b[5]={0,0,0,0,24},T=20000,N=T+10,P=1e9,Phi=4e8;
ll n,pw2[N],pw3[N],Pw2[N],Pw3[N];
ll read(){
	ll x=0,f=1;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
	while(isdigit(c))x=(x<<1)+(x<<3)+c-48,c=getchar();
	return x*f;
}
void print(ll x)
{if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+48);return;}
ll G4(ll n)
{n%=Phi;return Pw2[n/T]*Pw2[n/T]%P*pw2[n%T]%P*pw2[n%T]%P;}
ll G8(ll n)
{n%=Phi;return Pw2[n/T]*pw2[n%T]%P*G4(n)%P;}
ll G12(ll n)
{n%=Phi;return Pw3[n/T]*pw3[n%T]%P*G4(n)%P;}
signed main()
{
	pw2[0]=pw3[0]=Pw2[0]=Pw3[0]=1;
	for(ll i=1;i<=T;i++)
		pw2[i]=pw2[i-1]*2ll%P,pw3[i]=pw3[i-1]*3ll%P;
	for(ll i=1;i<T;i++)
		Pw2[i]=Pw2[i-1]*pw2[T]%P,Pw3[i]=Pw3[i-1]*pw3[T]%P;
	while(1){
		n=read();
		if(!n)break;
		if(n<=4){print(b[n]),putchar('\n');continue;}
		ll ans=81ll*G12(n-4);
		ans=ans-G8(n-2);
		ans=ans+6ll*G4(n-4);
		ans=ans+((n&1)?-1:1)*G4(n-4);
		print((ans%P+P)%P);
		putchar('\n'); 
	}
	return 0;
}