CS224W:Kronecker graphs: An Approach to Modeling Networks

Kronecker graphs: An Approach to Modeling Networks

Kronecker graph 模型是一种高度符合现实世界网络的图形，运用拙略的生成方法的时间复杂度是超指数级的，而新的算法可以把时间复杂度降低为线性。Kronecker graph model 是基于递归构造的图。

3.1 Main idea

在此模型的主要想法是递归地构建自相似的图。从一个初始图 \(K_1\) ，拥有 \(N_1\) 个节点和 \(E_1\)条边开始，然后递归地连续构造更大的图\(K_2,K_3,...\) 例如，第k个图\(K_k\) 有 \(N_k=N_1^k\)个节点，\(E_k = E_1^k\) (要满足致密幂定律)。

结果表明，两个矩阵的Kronecker 积就是正确的方法！

下面给出Kronecker积的定义：

定义1: 给定两个矩阵\(A = [a_{i,j}]\) 和 \(B\)，大小分别为 \(n\times m\) 和 \(n' \times m'\),大小为\((n\cdot n')\times (m \cdot m')\)的Kronecker积矩阵\(C\)为：

\[C = A \otimes B= \begin{pmatrix} a_{1,1}B & a_{1,2}B &\cdots& a_{1,m}B \\ a_{2,1}B & a_{2,2}B &\cdots& a_{2,m}B \\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\ a_{n,1}B & a_{n,2}B &\cdots& a_{n,m}B \\ \end{pmatrix} \]

然后，我们将两个图的Kronecker积简单地定义为其对应的邻接矩阵的Kronecker乘积。

定义2：如果图\(G\)和图\(H\)的邻接矩阵分别为\(A(G)\)和\(A(H)\), Kronecker积 \(G\otimes H\)定义为具有邻接矩阵\(A(G) \otimes A(H)\)的图。

观测结果1:

\[Edge(X_{ij},X_{kl})\in G \otimes H \ \ iff \ \ (X_i,X_k)\in G \ and \ (X_j,X_l)\in H \]