2025.10.3 闲话：分散层叠

10.3 闲话-分散层叠

这个东西好像没什么用，但是好像有有些用。

先看这么个问题：

给定 \(k\) 个长度为 \(n\) 的序列，\(m\) 次询问，每次询问 \(x\) 在 \(k\) 个序列中的后继的异或和，强制在线。

这东西有个显然的 \(O(mk\log n)\) 做法，但是我们可以寻求更优秀的算法。

分散层叠维护的就是这么个东西。

分散层叠是一种维护多序列二分的数据结构（也许吧）。

分散层叠需要维护一个数组 \(M_{i,j}\) 其中有三个值 \(\{val, now, nxt\}\) 分别表示值，该序列后继位置，\(M_{i+1}\) 中后继位置。

但是这时直接跳肯定假了，为啥？

因为前面可能还有合法的点呢，那么可以每隔一个将 \(M_{i+1}\) 中的元素插入 \(M_{i}\) 中，这是维护的 \(nxt\) 就是这写插入点中的后继位置了。

这时跳下去竟然合法点只有 \(nxt, nxt-1\) 两个点，为啥？

因为 \(nxt - 2\) 一定在 \(M_{i}\) 可是我们没有找到它，那么它就一定不是后继。

使用归并排序维护，查询先二分出 \(M_1\) 的位置。

复杂度 \(O(m(k+\log n))\)，空间复杂度 \(O(2n)\)。

这个分散层叠十分深刻的一点是它其实维护的是一个 \(DAG\) 结构，所以支持 \(DAG\) 上的链查询。

还有就是为什么要隔一个插一个，其实可以隔 \(p\) 个，这是也是没有问题的，可以做到时空复杂度平衡。

由于这东西本质上是维护的一个 \(DAG\) 那么线段树自然是能用的，每次将左右儿子的 \(\frac{1}{p}\) 个元素插入父节点，这样正常跳儿子容易发现还是对的。

这东西可以做一些大分块，比如第十分块加强版。

可以分块后多个块维护分散层叠，能做到 \(O(n\sqrt{n\log \log n})\)，线段树底层分块加分散层叠做到 \(O(n\sqrt n)\)。

修改暴力重构就行。

具体一点，首先如果正常分块，发现正好是多个块二分，那么就是正好的分散层叠，通过修改块长和步长可以做到 \(O(n\sqrt{n\log \log n})\)。

但是咋能更优秀呢？

因为上述过程其实复杂度瓶颈被修改卡住了。

这时候就可以使用刚刚提到的线段树了，区间进行的加减法、推平等操作是不会更改分散层叠的本质的，那么直接对于那些会被更改形态的分散层叠暴力跑，这样如果将步长（\(p\)）开到 \(3\) 此时求和竟然复杂度变成了 \(O(n\sqrt n)\)！