关于约数的一些性质

约数个数定理：

对于一个数 \(x\)，他可以表示为 \(p_1^{k_1}p_2^{k_2}p_3^{k_3}...p_n^{k_n}\)，\(p\) 表示质数。
那么 \(x\) 的约数个数即为 \(\prod_{i=1}^{n} (k_i+1)\)。

证明：

对于一个 \(x\) 的约数 \(y\)，有 \(y=p_1^{t_1}p_2^{t_2}p_3^{t_3}...p_n^{t_n}\)，\(p\) 表示质数。且 \(t_i\) 取值为 \([0,k_i]\)。又因为 \(y\) 的因子 \(x\) 都有，所以根据乘法原理，证毕。

区间内每个数约数和定理：

设 \(f(x)\) 表示 \(x\) 的约数个数，求 \(\sum_{i=1}^{n} f(x)\)。

分类讨论：

若 \(1\) 作为因数，则 \(ans+=n\)，因为每一个数的因数的都有 \(1\)。

若 \(2\) 作为因数，则 \(ans+=\frac{n}{2}\)，以为它只对 \(f(2|i)\) 产生贡献。

以此类推，对于 \(k\in [1,n]\)，对于答案的贡献为 \(\frac {n}{k}\)。

所以 $\sum_{i=1}^{n} f(x)=\sum_{i=1}^{n} \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor $。

（可用于求解整除分块，例题;P3935）