全排列hash-康拓展开

这是对很多全排列问题适用的方法，而且还能用于一些题目的判重

第一位是3，当第一位的数小于3时，那排列数小于321 如 123、 213 ，小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位2的：小于2的数只有一个就是1 ，所以有1*1!=1 所以小于321的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个小的数。 2*2!+1*1!+0*0!就是康托展开。

例如 123 的排序

123    0*2! + 0*1! + 0*0!         0
132    0*2! + 1*1! + 0*0!          1
213    1*2! + 0*1! + 0*0!          2
231    1*2! + 1*1! + 0*0!          3
312    2*2! + 0*1! + 0*0!         4
321    2*2! + 1*1! + 0*0!          5

所以对于每一位数寻找后面还未出现的比它小的数的个数。

 

int fac[]= {1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880}; //康拖展开判重
//         0!1!2!3! 4! 5!  6!  7!   8!    9!
int cantor(int s[])//康拖展开求该序列的hash值
{
    int sum=0;
    for(int i=0; i<9; i++)
    {
        int num=0;
        for(int j=i+1; j<9; j++)
            if(s[j]<s[i])num++;
        sum+=(num*fac[9-i-1]);
    }
    return sum+1;
}

　　

康托展开逆运算：

 

{1,2,3,4,5}的全排列已经从小到大排序，要找出第16个数：

1. 首先用16-1得到15

2. 用15去除4! 得到0余15

3. 用15去除3! 得到2余3

4. 用3去除2! 得到1余1

5. 用1去除1! 得到1余0

有0个数比它小的数是1，所以第一位是1

有2个数比它小的数是3，但1已经在之前出现过了所以是4

有1个数比它小的数是2，但1已经在之前出现过了所以是3

有1个数比它小的数是2，但1,3,4都出现过了所以是5

最后一个数只能是2

所以这个数是14352

 

 

/*  康托展开的逆运算.
    {1...n}的全排列，中的第k个数为s[]  */
void invKT(int n, int k, int s[])
{
    int i, j, t, vst[8]={0};
    k--;
    for (i=0; i<n; i++)
    {
        t = k/fac[n-i-1];
        for (j=1; j<=n; j++)
            if (!vst[j])
            {
                if (t == 0) break;
                t--;
            }
        s[i] = j;
        vst[j] = 1;
        k %= fac[n-i-1];
    }
}